Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60397 / 39981
↖ ↑ ↗
← N 57.259737°
W 14.114685°		 ← 165.18 m → N 57.259737°
W 14.111938°		 →
↑
165.14 m
↓
↑
165.14 m
↓
N 57.258252°
W 14.114685°		 ← 165.19 m →
27 278 m²		 N 57.258252°
W 14.111938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460796356201172 y=0.305034637451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460796356201172 × 217)
    floor (0.460796356201172 × 131072)
    floor (60397.5)     		tx = 60397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305034637451172 × 217)
    floor (0.305034637451172 × 131072)
    floor (39981.5)     		ty = 39981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60397 / 39981 ti = "17/60397/39981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60397/39981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60397 ÷ 217
    60397 ÷ 131072     		x = 0.460792541503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39981 ÷ 217
    39981 ÷ 131072     		y = 0.305030822753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460792541503906 × 2 - 1) × π
    -0.0784149169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24634773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305030822753906 × 2 - 1) × π
    0.389938354492188 × 3.1415926535     		Φ = 1.22502746979054
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24634773} λ = -0.24634773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22502746979054))-π/2
    2×atan(3.40425959580445)-π/2
    2×1.28508363425465-π/2
    2.57016726850929-1.57079632675     		φ = 0.99937094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24634773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.114685°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99937094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.259737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60397 KachelY 39981 -0.24634773 0.99937094 -14.114685 57.259737
    Oben rechts KachelX + 1 60398 KachelY 39981 -0.24629979 0.99937094 -14.111938 57.259737
    Unten links KachelX 60397 KachelY + 1 39982 -0.24634773 0.99934502 -14.114685 57.258252
    Unten rechts KachelX + 1 60398 KachelY + 1 39982 -0.24629979 0.99934502 -14.111938 57.258252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99937094-0.99934502) × R
    2.59200000000126e-05 × 6371000     		dl = 165.13632000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99937094-0.99934502) × R
    2.59200000000126e-05 × 6371000     		dr = 165.13632000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24634773--0.24629979) × cos(0.99937094) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.540831534667671 × 6371000     		do = 165.183871691196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24634773--0.24629979) × cos(0.99934502) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.540853336599846 × 6371000     		du = 165.190530562464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99937094)-sin(0.99934502))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.540831534667671-0.540853336599846)×R²
    abs(-0.24629979--0.24634773)×2.18019321748253e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18019321748253e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18019321748253e-05×40589641000000     		ar = 27278.4065067323m²