Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60396 / 40789
↖ ↑ ↗
← N 56.039829°
W 14.117431°		 ← 170.58 m → N 56.039829°
W 14.114685°		 →
↑
170.62 m
↓
↑
170.62 m
↓
N 56.038295°
W 14.117431°		 ← 170.59 m →
29 104 m²		 N 56.038295°
W 14.114685°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460788726806641 y=0.311199188232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460788726806641 × 217)
    floor (0.460788726806641 × 131072)
    floor (60396.5)     		tx = 60396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311199188232422 × 217)
    floor (0.311199188232422 × 131072)
    floor (40789.5)     		ty = 40789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60396 / 40789 ti = "17/60396/40789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60396/40789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60396 ÷ 217
    60396 ÷ 131072     		x = 0.460784912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40789 ÷ 217
    40789 ÷ 131072     		y = 0.311195373535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460784912109375 × 2 - 1) × π
    -0.07843017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24639566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311195373535156 × 2 - 1) × π
    0.377609252929688 × 3.1415926535     		Φ = 1.18629445489753
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24639566} λ = -0.24639566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18629445489753))-π/2
    2×atan(3.27492331942649)-π/2
    2×1.27443792680783-π/2
    2.54887585361566-1.57079632675     		φ = 0.97807953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24639566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.117431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97807953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.039829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60396 KachelY 40789 -0.24639566 0.97807953 -14.117431 56.039829
    Oben rechts KachelX + 1 60397 KachelY 40789 -0.24634773 0.97807953 -14.114685 56.039829
    Unten links KachelX 60396 KachelY + 1 40790 -0.24639566 0.97805275 -14.117431 56.038295
    Unten rechts KachelX + 1 60397 KachelY + 1 40790 -0.24634773 0.97805275 -14.114685 56.038295
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97807953-0.97805275) × R
    2.6780000000004e-05 × 6371000     		dl = 170.615380000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97807953-0.97805275) × R
    2.6780000000004e-05 × 6371000     		dr = 170.615380000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24639566--0.24634773) × cos(0.97807953) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.558616463864551 × 6371000     		do = 170.580257397106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24639566--0.24634773) × cos(0.97805275) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.558638675695049 × 6371000     		du = 170.587040046757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97807953)-sin(0.97805275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558616463864551-0.558638675695049)×R²
    abs(-0.24634773--0.24639566)×2.22118304981089e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.22118304981089e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.22118304981089e-05×40589641000000     		ar = 29104.1940502689m²