Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60394 / 84011
↖ ↑ ↗
← S 45.172356°
W 14.122925°		 ← 215.32 m → S 45.172356°
W 14.120178°		 →
↑
215.28 m
↓
↑
215.28 m
↓
S 45.174292°
W 14.122925°		 ← 215.31 m →
46 352 m²		 S 45.174292°
W 14.120178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60394 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460773468017578 y=0.640956878662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460773468017578 × 217)
    floor (0.460773468017578 × 131072)
    floor (60394.5)     		tx = 60394
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640956878662109 × 217)
    floor (0.640956878662109 × 131072)
    floor (84011.5)     		ty = 84011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60394 / 84011 ti = "17/60394/84011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60394/84011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60394 ÷ 217
    60394 ÷ 131072     		x = 0.460769653320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84011 ÷ 217
    84011 ÷ 131072     		y = 0.640953063964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460769653320312 × 2 - 1) × π
    -0.078460693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24649154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640953063964844 × 2 - 1) × π
    -0.281906127929688 × 3.1415926535     		Φ = -0.885634220480537
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24649154} λ = -0.24649154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.885634220480537))-π/2
    2×atan(0.412452504484373)-π/2
    2×0.391194989410348-π/2
    0.782389978820695-1.57079632675     		φ = -0.78840635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24649154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.122925°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78840635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.172356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60394 KachelY 84011 -0.24649154 -0.78840635 -14.122925 -45.172356
    Oben rechts KachelX + 1 60395 KachelY 84011 -0.24644360 -0.78840635 -14.120178 -45.172356
    Unten links KachelX 60394 KachelY + 1 84012 -0.24649154 -0.78844014 -14.122925 -45.174292
    Unten rechts KachelX + 1 60395 KachelY + 1 84012 -0.24644360 -0.78844014 -14.120178 -45.174292
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78840635--0.78844014) × R
    3.37899999999225e-05 × 6371000     		dl = 215.276089999506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78840635--0.78844014) × R
    3.37899999999225e-05 × 6371000     		dr = 215.276089999506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24649154--0.24644360) × cos(-0.78840635) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.704976475880704 × 6371000     		do = 215.31796182844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24649154--0.24644360) × cos(-0.78844014) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.704952510573311 × 6371000     		du = 215.310642206695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78840635)-sin(-0.78844014))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.704976475880704-0.704952510573311)×R²
    abs(-0.24644360--0.24649154)×2.39653073931256e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39653073931256e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39653073931256e-05×40589641000000     		ar = 46352.0210636845m²