Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60393 / 40190
↖ ↑ ↗
← N 56.947970°
W 14.125671°		 ← 166.54 m → N 56.947970°
W 14.122925°		 →
↑
166.54 m
↓
↑
166.54 m
↓
N 56.946472°
W 14.125671°		 ← 166.55 m →
27 737 m²		 N 56.946472°
W 14.122925°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460765838623047 y=0.306629180908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460765838623047 × 217)
    floor (0.460765838623047 × 131072)
    floor (60393.5)     		tx = 60393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306629180908203 × 217)
    floor (0.306629180908203 × 131072)
    floor (40190.5)     		ty = 40190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60393 / 40190 ti = "17/60393/40190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60393/40190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60393 ÷ 217
    60393 ÷ 131072     		x = 0.460762023925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40190 ÷ 217
    40190 ÷ 131072     		y = 0.306625366210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460762023925781 × 2 - 1) × π
    -0.0784759521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24653947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306625366210938 × 2 - 1) × π
    0.386749267578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.21500865776994
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24653947} λ = -0.24653947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21500865776994))-π/2
    2×atan(3.37032324367857)-π/2
    2×1.28236295520216-π/2
    2.56472591040432-1.57079632675     		φ = 0.99392958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24653947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.125671°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99392958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.947970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60393 KachelY 40190 -0.24653947 0.99392958 -14.125671 56.947970
    Oben rechts KachelX + 1 60394 KachelY 40190 -0.24649154 0.99392958 -14.122925 56.947970
    Unten links KachelX 60393 KachelY + 1 40191 -0.24653947 0.99390344 -14.125671 56.946472
    Unten rechts KachelX + 1 60394 KachelY + 1 40191 -0.24649154 0.99390344 -14.122925 56.946472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99392958-0.99390344) × R
    2.61400000000078e-05 × 6371000     		dl = 166.53794000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99392958-0.99390344) × R
    2.61400000000078e-05 × 6371000     		dr = 166.53794000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24653947--0.24649154) × cos(0.99392958) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.545400401752518 × 6371000     		do = 166.54457384197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24653947--0.24649154) × cos(0.99390344) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.545422311477383 × 6371000     		du = 166.551264240031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99392958)-sin(0.99390344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545400401752518-0.545422311477383)×R²
    abs(-0.24649154--0.24653947)×2.19097248642663e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.19097248642663e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.19097248642663e-05×40589641000000     		ar = 27736.5473499643m²