Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60392 / 39958
↖ ↑ ↗
← N 57.293886°
W 14.128418°		 ← 165.03 m → N 57.293886°
W 14.125671°		 →
↑
165.01 m
↓
↑
165.01 m
↓
N 57.292403°
W 14.128418°		 ← 165.04 m →
27 232 m²		 N 57.292403°
W 14.125671°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39958 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460758209228516 y=0.304859161376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460758209228516 × 217)
    floor (0.460758209228516 × 131072)
    floor (60392.5)     		tx = 60392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304859161376953 × 217)
    floor (0.304859161376953 × 131072)
    floor (39958.5)     		ty = 39958
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60392 / 39958 ti = "17/60392/39958"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60392/39958.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60392 ÷ 217
    60392 ÷ 131072     		x = 0.46075439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39958 ÷ 217
    39958 ÷ 131072     		y = 0.304855346679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46075439453125 × 2 - 1) × π
    -0.0784912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24658741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304855346679688 × 2 - 1) × π
    0.390289306640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.2261300184818
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24658741} λ = -0.24658741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2261300184818))-π/2
    2×atan(3.40801502765932)-π/2
    2×1.28538164258056-π/2
    2.57076328516112-1.57079632675     		φ = 0.99996696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24658741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.128418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99996696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.293886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60392 KachelY 39958 -0.24658741 0.99996696 -14.128418 57.293886
    Oben rechts KachelX + 1 60393 KachelY 39958 -0.24653947 0.99996696 -14.125671 57.293886
    Unten links KachelX 60392 KachelY + 1 39959 -0.24658741 0.99994106 -14.128418 57.292403
    Unten rechts KachelX + 1 60393 KachelY + 1 39959 -0.24653947 0.99994106 -14.125671 57.292403
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99996696-0.99994106) × R
    2.58999999999121e-05 × 6371000     		dl = 165.00889999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99996696-0.99994106) × R
    2.58999999999121e-05 × 6371000     		dr = 165.00889999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24658741--0.24653947) × cos(0.99996696) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.540330107774564 × 6371000     		do = 165.030723011313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24658741--0.24653947) × cos(0.99994106) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.540351901229471 × 6371000     		du = 165.037379293405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99996696)-sin(0.99994106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.540330107774564-0.540351901229471)×R²
    abs(-0.24653947--0.24658741)×2.17934549066046e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.17934549066046e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.17934549066046e-05×40589641000000     		ar = 27232.0872444551m²