Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60391 / 40489
↖ ↑ ↗
← N 56.497375°
W 14.131165°		 ← 168.59 m → N 56.497375°
W 14.128418°		 →
↑
168.58 m
↓
↑
168.58 m
↓
N 56.495859°
W 14.131165°		 ← 168.59 m →
28 420 m²		 N 56.495859°
W 14.128418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460750579833984 y=0.308910369873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460750579833984 × 217)
    floor (0.460750579833984 × 131072)
    floor (60391.5)     		tx = 60391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308910369873047 × 217)
    floor (0.308910369873047 × 131072)
    floor (40489.5)     		ty = 40489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60391 / 40489 ti = "17/60391/40489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60391/40489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60391 ÷ 217
    60391 ÷ 131072     		x = 0.460746765136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40489 ÷ 217
    40489 ÷ 131072     		y = 0.308906555175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460746765136719 × 2 - 1) × π
    -0.0785064697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24663535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308906555175781 × 2 - 1) × π
    0.382186889648438 × 3.1415926535     		Φ = 1.20067552478355
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24663535} λ = -0.24663535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20067552478355))-π/2
    2×atan(3.32236050171341)-π/2
    2×1.27843077445645-π/2
    2.55686154891289-1.57079632675     		φ = 0.98606522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24663535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.131165°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98606522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.497375°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60391 KachelY 40489 -0.24663535 0.98606522 -14.131165 56.497375
    Oben rechts KachelX + 1 60392 KachelY 40489 -0.24658741 0.98606522 -14.128418 56.497375
    Unten links KachelX 60391 KachelY + 1 40490 -0.24663535 0.98603876 -14.131165 56.495859
    Unten rechts KachelX + 1 60392 KachelY + 1 40490 -0.24658741 0.98603876 -14.128418 56.495859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98606522-0.98603876) × R
    2.64599999999504e-05 × 6371000     		dl = 168.576659999684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98606522-0.98603876) × R
    2.64599999999504e-05 × 6371000     		dr = 168.576659999684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24663535--0.24658741) × cos(0.98606522) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.551975182855032 × 6371000     		do = 168.587428685121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24663535--0.24658741) × cos(0.98603876) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.551997246611648 × 6371000     		du = 168.594167524312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98606522)-sin(0.98603876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551975182855032-0.551997246611648)×R²
    abs(-0.24658741--0.24663535)×2.20637566160642e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.20637566160642e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.20637566160642e-05×40589641000000     		ar = 28420.4736528655m²