Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60391 / 39960
↖ ↑ ↗
← N 57.290918°
W 14.131165°		 ← 165.04 m → N 57.290918°
W 14.128418°		 →
↑
165.01 m
↓
↑
165.01 m
↓
N 57.289434°
W 14.131165°		 ← 165.05 m →
27 234 m²		 N 57.289434°
W 14.128418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460750579833984 y=0.304874420166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460750579833984 × 217)
    floor (0.460750579833984 × 131072)
    floor (60391.5)     		tx = 60391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304874420166016 × 217)
    floor (0.304874420166016 × 131072)
    floor (39960.5)     		ty = 39960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60391 / 39960 ti = "17/60391/39960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60391/39960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60391 ÷ 217
    60391 ÷ 131072     		x = 0.460746765136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39960 ÷ 217
    39960 ÷ 131072     		y = 0.30487060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460746765136719 × 2 - 1) × π
    -0.0785064697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24663535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30487060546875 × 2 - 1) × π
    0.3902587890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.22603414468256
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24663535} λ = -0.24663535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22603414468256))-π/2
    2×atan(3.40768830397312)-π/2
    2×1.28535573978555-π/2
    2.5707114795711-1.57079632675     		φ = 0.99991515
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24663535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.131165°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99991515 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.290918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60391 KachelY 39960 -0.24663535 0.99991515 -14.131165 57.290918
    Oben rechts KachelX + 1 60392 KachelY 39960 -0.24658741 0.99991515 -14.128418 57.290918
    Unten links KachelX 60391 KachelY + 1 39961 -0.24663535 0.99988925 -14.131165 57.289434
    Unten rechts KachelX + 1 60392 KachelY + 1 39961 -0.24658741 0.99988925 -14.128418 57.289434
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99991515-0.99988925) × R
    2.59000000000231e-05 × 6371000     		dl = 165.008900000147m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99991515-0.99988925) × R
    2.59000000000231e-05 × 6371000     		dr = 165.008900000147m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24663535--0.24658741) × cos(0.99991515) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.540373702736156 × 6371000     		do = 165.044038034718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24663535--0.24658741) × cos(0.99988925) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.540395495465961 × 6371000     		du = 165.050694095345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99991515)-sin(0.99988925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.540373702736156-0.540395495465961)×R²
    abs(-0.24658741--0.24663535)×2.17927298051812e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.17927298051812e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.17927298051812e-05×40589641000000     		ar = 27234.2843238261m²