Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60390 / 40165
↖ ↑ ↗
← N 56.985401°
W 14.133911°		 ← 166.41 m → N 56.985401°
W 14.131165°		 →
↑
166.41 m
↓
↑
166.41 m
↓
N 56.983905°
W 14.133911°		 ← 166.42 m →
27 693 m²		 N 56.983905°
W 14.131165°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460742950439453 y=0.306438446044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460742950439453 × 217)
    floor (0.460742950439453 × 131072)
    floor (60390.5)     		tx = 60390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306438446044922 × 217)
    floor (0.306438446044922 × 131072)
    floor (40165.5)     		ty = 40165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60390 / 40165 ti = "17/60390/40165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60390/40165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60390 ÷ 217
    60390 ÷ 131072     		x = 0.460739135742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40165 ÷ 217
    40165 ÷ 131072     		y = 0.306434631347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460739135742188 × 2 - 1) × π
    -0.078521728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24668329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306434631347656 × 2 - 1) × π
    0.387130737304688 × 3.1415926535     		Φ = 1.21620708026044
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24668329} λ = -0.24668329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21620708026044))-π/2
    2×atan(3.37436473607804)-π/2
    2×1.28268960114747-π/2
    2.56537920229493-1.57079632675     		φ = 0.99458288
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24668329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.133911°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99458288 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.985401°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60390 KachelY 40165 -0.24668329 0.99458288 -14.133911 56.985401
    Oben rechts KachelX + 1 60391 KachelY 40165 -0.24663535 0.99458288 -14.131165 56.985401
    Unten links KachelX 60390 KachelY + 1 40166 -0.24668329 0.99455676 -14.133911 56.983905
    Unten rechts KachelX + 1 60391 KachelY + 1 40166 -0.24663535 0.99455676 -14.131165 56.983905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99458288-0.99455676) × R
    2.61199999999073e-05 × 6371000     		dl = 166.41051999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99458288-0.99455676) × R
    2.61199999999073e-05 × 6371000     		dr = 166.41051999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24668329--0.24663535) × cos(0.99458288) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.544852705257844 × 6371000     		do = 166.412040694366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24668329--0.24663535) × cos(0.99455676) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.544874607521814 × 6371000     		du = 166.418730209547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99458288)-sin(0.99455676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544852705257844-0.544874607521814)×R²
    abs(-0.24663535--0.24668329)×2.19022639700306e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.19022639700306e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.19022639700306e-05×40589641000000     		ar = 27693.2708307045m²