Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60390 / 39841
↖ ↑ ↗
← N 57.467112°
W 14.133911°		 ← 164.25 m → N 57.467112°
W 14.131165°		 →
↑
164.24 m
↓
↑
164.24 m
↓
N 57.465635°
W 14.133911°		 ← 164.26 m →
26 978 m²		 N 57.465635°
W 14.131165°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460742950439453 y=0.303966522216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460742950439453 × 217)
    floor (0.460742950439453 × 131072)
    floor (60390.5)     		tx = 60390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303966522216797 × 217)
    floor (0.303966522216797 × 131072)
    floor (39841.5)     		ty = 39841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60390 / 39841 ti = "17/60390/39841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60390/39841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60390 ÷ 217
    60390 ÷ 131072     		x = 0.460739135742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39841 ÷ 217
    39841 ÷ 131072     		y = 0.303962707519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460739135742188 × 2 - 1) × π
    -0.078521728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24668329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303962707519531 × 2 - 1) × π
    0.392074584960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.23173863573734
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24668329} λ = -0.24668329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23173863573734))-π/2
    2×atan(3.4271829821643)-π/2
    2×1.28689332274756-π/2
    2.57378664549512-1.57079632675     		φ = 1.00299032
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24668329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.133911°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00299032 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.467112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60390 KachelY 39841 -0.24668329 1.00299032 -14.133911 57.467112
    Oben rechts KachelX + 1 60391 KachelY 39841 -0.24663535 1.00299032 -14.131165 57.467112
    Unten links KachelX 60390 KachelY + 1 39842 -0.24668329 1.00296454 -14.133911 57.465635
    Unten rechts KachelX + 1 60391 KachelY + 1 39842 -0.24663535 1.00296454 -14.131165 57.465635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00299032-1.00296454) × R
    2.57800000000863e-05 × 6371000     		dl = 164.24438000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00299032-1.00296454) × R
    2.57800000000863e-05 × 6371000     		dr = 164.24438000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24668329--0.24663535) × cos(1.00299032) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.537783626409419 × 6371000     		do = 164.252962055968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24668329--0.24663535) × cos(1.00296454) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.537805360907793 × 6371000     		du = 164.259600331217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00299032)-sin(1.00296454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.537783626409419-0.537805360907793)×R²
    abs(-0.24663535--0.24668329)×2.17344983738377e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.17344983738377e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.17344983738377e-05×40589641000000     		ar = 26978.1710672857m²