Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6039 / 7527
↖ ↑ ↗
← N 14.455958°
W 47.307129°		 ← 2 365.92 m → N 14.455958°
W 47.285156°		 →
↑
2 366 m
↓
↑
2 366 m
↓
N 14.434680°
W 47.307129°		 ← 2 366.15 m →
5 598 040 m²		 N 14.434680°
W 47.285156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.368621826171875 y=0.459442138671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.368621826171875 × 214)
    floor (0.368621826171875 × 16384)
    floor (6039.5)     		tx = 6039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459442138671875 × 214)
    floor (0.459442138671875 × 16384)
    floor (7527.5)     		ty = 7527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6039 / 7527 ti = "14/6039/7527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6039/7527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6039 ÷ 214
    6039 ÷ 16384     		x = 0.36859130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7527 ÷ 214
    7527 ÷ 16384     		y = 0.45941162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36859130859375 × 2 - 1) × π
    -0.2628173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.82566516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45941162109375 × 2 - 1) × π
    0.0811767578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.255024305978699
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82566516} λ = -0.82566516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.255024305978699))-π/2
    2×atan(1.29049298718675)-π/2
    2×0.911550197226475-π/2
    1.82310039445295-1.57079632675     		φ = 0.25230407
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82566516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.307129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25230407 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.455958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6039 KachelY 7527 -0.82566516 0.25230407 -47.307129 14.455958
    Oben rechts KachelX + 1 6040 KachelY 7527 -0.82528166 0.25230407 -47.285156 14.455958
    Unten links KachelX 6039 KachelY + 1 7528 -0.82566516 0.25193270 -47.307129 14.434680
    Unten rechts KachelX + 1 6040 KachelY + 1 7528 -0.82528166 0.25193270 -47.285156 14.434680
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25230407-0.25193270) × R
    0.000371369999999982 × 6371000     		dl = 2365.99826999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25230407-0.25193270) × R
    0.000371369999999982 × 6371000     		dr = 2365.99826999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82566516--0.82528166) × cos(0.25230407) × R
    0.000383499999999981 × 0.968339814324375 × 6371000     		do = 2365.92384903262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82566516--0.82528166) × cos(0.25193270) × R
    0.000383499999999981 × 0.968432454773362 × 6371000     		du = 2366.15019544986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25230407)-sin(0.25193270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.968339814324375-0.968432454773362)×R²
    abs(-0.82528166--0.82566516)×9.26404489867139e-05×R²
    0.000383499999999981×9.26404489867139e-05×6371000²
    0.000383499999999981×9.26404489867139e-05×40589641000000     		ar = 5598039.56571686m²