Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60389 / 82084
↖ ↑ ↗
← S 41.319075°
W 14.136658°		 ← 229.34 m → S 41.319075°
W 14.133911°		 →
↑
229.42 m
↓
↑
229.42 m
↓
S 41.321139°
W 14.136658°		 ← 229.33 m →
52 614 m²		 S 41.321139°
W 14.133911°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60389 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82084 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460735321044922 y=0.626255035400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460735321044922 × 217)
    floor (0.460735321044922 × 131072)
    floor (60389.5)     		tx = 60389
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626255035400391 × 217)
    floor (0.626255035400391 × 131072)
    floor (82084.5)     		ty = 82084
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60389 / 82084 ti = "17/60389/82084"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60389/82084.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60389 ÷ 217
    60389 ÷ 131072     		x = 0.460731506347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82084 ÷ 217
    82084 ÷ 131072     		y = 0.626251220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460731506347656 × 2 - 1) × π
    -0.0785369873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24673122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626251220703125 × 2 - 1) × π
    -0.25250244140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.793259814912689
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24673122} λ = -0.24673122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.793259814912689))-π/2
    2×atan(0.452367753999217)-π/2
    2×0.424821206655448-π/2
    0.849642413310896-1.57079632675     		φ = -0.72115391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24673122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.136658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72115391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.319075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60389 KachelY 82084 -0.24673122 -0.72115391 -14.136658 -41.319075
    Oben rechts KachelX + 1 60390 KachelY 82084 -0.24668329 -0.72115391 -14.133911 -41.319075
    Unten links KachelX 60389 KachelY + 1 82085 -0.24673122 -0.72118992 -14.136658 -41.321139
    Unten rechts KachelX + 1 60390 KachelY + 1 82085 -0.24668329 -0.72118992 -14.133911 -41.321139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72115391--0.72118992) × R
    3.60100000000863e-05 × 6371000     		dl = 229.41971000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72115391--0.72118992) × R
    3.60100000000863e-05 × 6371000     		dr = 229.41971000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24673122--0.24668329) × cos(-0.72115391) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.751044358225187 × 6371000     		do = 229.340429847698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24673122--0.24668329) × cos(-0.72118992) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.751020582072766 × 6371000     		du = 229.333169513529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72115391)-sin(-0.72118992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751044358225187-0.751020582072766)×R²
    abs(-0.24668329--0.24673122)×2.37761524213287e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.37761524213287e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.37761524213287e-05×40589641000000     		ar = 52614.3820809096m²