Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 60387 / 14627
↖ ↑ ↗
← N 70.074947°
E151.715698°		 ← 208.17 m → N 70.074947°
E151.721192°		 →
↑
208.20 m
↓
↑
208.20 m
↓
N 70.073075°
E151.715698°		 ← 208.19 m →
43 344 m²		 N 70.073075°
E151.721192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14627 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.921440124511719 y=0.223197937011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.921440124511719 × 216)
    floor (0.921440124511719 × 65536)
    floor (60387.5)     		tx = 60387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223197937011719 × 216)
    floor (0.223197937011719 × 65536)
    floor (14627.5)     		ty = 14627
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60387 / 14627 ti = "16/60387/14627"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60387/14627.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60387 ÷ 216
    60387 ÷ 65536     		x = 0.921432495117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14627 ÷ 216
    14627 ÷ 65536     		y = 0.223190307617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.921432495117188 × 2 - 1) × π
    0.842864990234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.64793846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223190307617188 × 2 - 1) × π
    0.553619384765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.73924659201488
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.64793846} λ = 2.64793846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73924659201488))-π/2
    2×atan(5.69305261521063)-π/2
    2×1.39691743632681-π/2
    2.79383487265361-1.57079632675     		φ = 1.22303855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.64793846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.715698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22303855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.074947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60387 KachelY 14627 2.64793846 1.22303855 151.715698 70.074947
    Oben rechts KachelX + 1 60388 KachelY 14627 2.64803434 1.22303855 151.721192 70.074947
    Unten links KachelX 60387 KachelY + 1 14628 2.64793846 1.22300587 151.715698 70.073075
    Unten rechts KachelX + 1 60388 KachelY + 1 14628 2.64803434 1.22300587 151.721192 70.073075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22303855-1.22300587) × R
    3.26800000001182e-05 × 6371000     		dl = 208.204280000753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22303855-1.22300587) × R
    3.26800000001182e-05 × 6371000     		dr = 208.204280000753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.64793846-2.64803434) × cos(1.22303855) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.340790663955247 × 6371000     		do = 208.172481447108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.64793846-2.64803434) × cos(1.22300587) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.340821387522457 × 6371000     		du = 208.19124898361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22303855)-sin(1.22300587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340790663955247-0.340821387522457)×R²
    abs(2.64803434-2.64793846)×3.07235672102335e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.07235672102335e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.07235672102335e-05×40589641000000     		ar = 43344.3553602864m²