Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60386 / 41096
↖ ↑ ↗
← N 55.565922°
W 14.144897°		 ← 172.67 m → N 55.565922°
W 14.142151°		 →
↑
172.72 m
↓
↑
172.72 m
↓
N 55.564369°
W 14.144897°		 ← 172.68 m →
29 824 m²		 N 55.564369°
W 14.142151°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60386 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460712432861328 y=0.313541412353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460712432861328 × 217)
    floor (0.460712432861328 × 131072)
    floor (60386.5)     		tx = 60386
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313541412353516 × 217)
    floor (0.313541412353516 × 131072)
    floor (41096.5)     		ty = 41096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60386 / 41096 ti = "17/60386/41096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60386/41096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60386 ÷ 217
    60386 ÷ 131072     		x = 0.460708618164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41096 ÷ 217
    41096 ÷ 131072     		y = 0.31353759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460708618164062 × 2 - 1) × π
    -0.078582763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24687503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31353759765625 × 2 - 1) × π
    0.3729248046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.17157782671417
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24687503} λ = -0.24687503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17157782671417))-π/2
    2×atan(3.2270803973318)-π/2
    2×1.27030230905521-π/2
    2.54060461811041-1.57079632675     		φ = 0.96980829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24687503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.144897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96980829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.565922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60386 KachelY 41096 -0.24687503 0.96980829 -14.144897 55.565922
    Oben rechts KachelX + 1 60387 KachelY 41096 -0.24682710 0.96980829 -14.142151 55.565922
    Unten links KachelX 60386 KachelY + 1 41097 -0.24687503 0.96978118 -14.144897 55.564369
    Unten rechts KachelX + 1 60387 KachelY + 1 41097 -0.24682710 0.96978118 -14.142151 55.564369
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96980829-0.96978118) × R
    2.71099999999969e-05 × 6371000     		dl = 172.71780999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96980829-0.96978118) × R
    2.71099999999969e-05 × 6371000     		dr = 172.71780999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24687503--0.24682710) × cos(0.96980829) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.565457659611341 × 6371000     		do = 172.669298817974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24687503--0.24682710) × cos(0.96978118) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.565480019116816 × 6371000     		du = 172.676126561955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96980829)-sin(0.96978118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565457659611341-0.565480019116816)×R²
    abs(-0.24682710--0.24687503)×2.23595054752446e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.23595054752446e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.23595054752446e-05×40589641000000     		ar = 29823.6527844235m²