Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60386 / 39959
↖ ↑ ↗
← N 57.292403°
W 14.144897°		 ← 165 m → N 57.292403°
W 14.142151°		 →
↑
165.07 m
↓
↑
165.07 m
↓
N 57.290918°
W 14.144897°		 ← 165.01 m →
27 238 m²		 N 57.290918°
W 14.142151°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60386 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460712432861328 y=0.304866790771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460712432861328 × 217)
    floor (0.460712432861328 × 131072)
    floor (60386.5)     		tx = 60386
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304866790771484 × 217)
    floor (0.304866790771484 × 131072)
    floor (39959.5)     		ty = 39959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60386 / 39959 ti = "17/60386/39959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60386/39959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60386 ÷ 217
    60386 ÷ 131072     		x = 0.460708618164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39959 ÷ 217
    39959 ÷ 131072     		y = 0.304862976074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460708618164062 × 2 - 1) × π
    -0.078582763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24687503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304862976074219 × 2 - 1) × π
    0.390274047851562 × 3.1415926535     		Φ = 1.22608208158218
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24687503} λ = -0.24687503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22608208158218))-π/2
    2×atan(3.40785166190069)-π/2
    2×1.28536869144426-π/2
    2.57073738288852-1.57079632675     		φ = 0.99994106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24687503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.144897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99994106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.292403°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60386 KachelY 39959 -0.24687503 0.99994106 -14.144897 57.292403
    Oben rechts KachelX + 1 60387 KachelY 39959 -0.24682710 0.99994106 -14.142151 57.292403
    Unten links KachelX 60386 KachelY + 1 39960 -0.24687503 0.99991515 -14.144897 57.290918
    Unten rechts KachelX + 1 60387 KachelY + 1 39960 -0.24682710 0.99991515 -14.142151 57.290918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99994106-0.99991515) × R
    2.59100000000734e-05 × 6371000     		dl = 165.072610000467m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99994106-0.99991515) × R
    2.59100000000734e-05 × 6371000     		dr = 165.072610000467m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24687503--0.24682710) × cos(0.99994106) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.540351901229471 × 6371000     		do = 165.002953473796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24687503--0.24682710) × cos(0.99991515) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.540373702736156 × 6371000     		du = 165.009610826135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99994106)-sin(0.99991515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.540351901229471-0.540373702736156)×R²
    abs(-0.24682710--0.24687503)×2.18015066846267e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.18015066846267e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.18015066846267e-05×40589641000000     		ar = 27238.0176624927m²