Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60383 / 82825
↖ ↑ ↗
← S 42.829653°
W 14.153137°		 ← 223.95 m → S 42.829653°
W 14.150391°		 →
↑
224 m
↓
↑
224 m
↓
S 42.831667°
W 14.153137°		 ← 223.94 m →
50 164 m²		 S 42.831667°
W 14.150391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460689544677734 y=0.631908416748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460689544677734 × 217)
    floor (0.460689544677734 × 131072)
    floor (60383.5)     		tx = 60383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631908416748047 × 217)
    floor (0.631908416748047 × 131072)
    floor (82825.5)     		ty = 82825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60383 / 82825 ti = "17/60383/82825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60383/82825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60383 ÷ 217
    60383 ÷ 131072     		x = 0.460685729980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82825 ÷ 217
    82825 ÷ 131072     		y = 0.631904602050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460685729980469 × 2 - 1) × π
    -0.0786285400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24701884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631904602050781 × 2 - 1) × π
    -0.263809204101562 × 3.1415926535     		Φ = -0.828781057531151
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24701884} λ = -0.24701884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.828781057531151))-π/2
    2×atan(0.436581129392345)-π/2
    2×0.411638932654503-π/2
    0.823277865309007-1.57079632675     		φ = -0.74751846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24701884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.153137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74751846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.829653°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60383 KachelY 82825 -0.24701884 -0.74751846 -14.153137 -42.829653
    Oben rechts KachelX + 1 60384 KachelY 82825 -0.24697091 -0.74751846 -14.150391 -42.829653
    Unten links KachelX 60383 KachelY + 1 82826 -0.24701884 -0.74755362 -14.153137 -42.831667
    Unten rechts KachelX + 1 60384 KachelY + 1 82826 -0.24697091 -0.74755362 -14.150391 -42.831667
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74751846--0.74755362) × R
    3.51600000000341e-05 × 6371000     		dl = 224.004360000217m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74751846--0.74755362) × R
    3.51600000000341e-05 × 6371000     		dr = 224.004360000217m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24701884--0.24697091) × cos(-0.74751846) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.733378128102514 × 6371000     		do = 223.945833954991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24701884--0.24697091) × cos(-0.74755362) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.73335422514468 × 6371000     		du = 223.938534899264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74751846)-sin(-0.74755362))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.733378128102514-0.73335422514468)×R²
    abs(-0.24697091--0.24701884)×2.39029578341654e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39029578341654e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39029578341654e-05×40589641000000     		ar = 50164.0257046771m²