Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60383 / 40543
↖ ↑ ↗
← N 56.415421°
W 14.153137°		 ← 168.92 m → N 56.415421°
W 14.150391°		 →
↑
168.96 m
↓
↑
168.96 m
↓
N 56.413901°
W 14.153137°		 ← 168.92 m →
28 540 m²		 N 56.413901°
W 14.150391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460689544677734 y=0.309322357177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460689544677734 × 217)
    floor (0.460689544677734 × 131072)
    floor (60383.5)     		tx = 60383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309322357177734 × 217)
    floor (0.309322357177734 × 131072)
    floor (40543.5)     		ty = 40543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60383 / 40543 ti = "17/60383/40543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60383/40543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60383 ÷ 217
    60383 ÷ 131072     		x = 0.460685729980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40543 ÷ 217
    40543 ÷ 131072     		y = 0.309318542480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460685729980469 × 2 - 1) × π
    -0.0786285400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24701884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309318542480469 × 2 - 1) × π
    0.381362915039062 × 3.1415926535     		Φ = 1.19808693220406
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24701884} λ = -0.24701884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19808693220406))-π/2
    2×atan(3.31377138562956)-π/2
    2×1.27771558367004-π/2
    2.55543116734007-1.57079632675     		φ = 0.98463484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24701884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.153137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98463484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.415421°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60383 KachelY 40543 -0.24701884 0.98463484 -14.153137 56.415421
    Oben rechts KachelX + 1 60384 KachelY 40543 -0.24697091 0.98463484 -14.150391 56.415421
    Unten links KachelX 60383 KachelY + 1 40544 -0.24701884 0.98460832 -14.153137 56.413901
    Unten rechts KachelX + 1 60384 KachelY + 1 40544 -0.24697091 0.98460832 -14.150391 56.413901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98463484-0.98460832) × R
    2.65200000000299e-05 × 6371000     		dl = 168.95892000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98463484-0.98460832) × R
    2.65200000000299e-05 × 6371000     		dr = 168.95892000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24701884--0.24697091) × cos(0.98463484) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.553167355218325 × 6371000     		do = 168.916306519204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24701884--0.24697091) × cos(0.98460832) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.553189448044213 × 6371000     		du = 168.923052829366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98463484)-sin(0.98460832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553167355218325-0.553189448044213)×R²
    abs(-0.24697091--0.24701884)×2.20928258878317e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.20928258878317e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.20928258878317e-05×40589641000000     		ar = 28540.4866462615m²