Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60382 / 41182
↖ ↑ ↗
← N 55.432131°
W 14.155884°		 ← 173.29 m → N 55.432131°
W 14.153137°		 →
↑
173.29 m
↓
↑
173.29 m
↓
N 55.430572°
W 14.155884°		 ← 173.30 m →
30 031 m²		 N 55.430572°
W 14.153137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60382 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460681915283203 y=0.314197540283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460681915283203 × 217)
    floor (0.460681915283203 × 131072)
    floor (60382.5)     		tx = 60382
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314197540283203 × 217)
    floor (0.314197540283203 × 131072)
    floor (41182.5)     		ty = 41182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60382 / 41182 ti = "17/60382/41182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60382/41182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60382 ÷ 217
    60382 ÷ 131072     		x = 0.460678100585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41182 ÷ 217
    41182 ÷ 131072     		y = 0.314193725585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460678100585938 × 2 - 1) × π
    -0.078643798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24706678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314193725585938 × 2 - 1) × π
    0.371612548828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.16745525334685
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24706678} λ = -0.24706678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16745525334685))-π/2
    2×atan(3.21380390708759)-π/2
    2×1.26913475593675-π/2
    2.5382695118735-1.57079632675     		φ = 0.96747319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24706678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.155884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96747319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.432131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60382 KachelY 41182 -0.24706678 0.96747319 -14.155884 55.432131
    Oben rechts KachelX + 1 60383 KachelY 41182 -0.24701884 0.96747319 -14.153137 55.432131
    Unten links KachelX 60382 KachelY + 1 41183 -0.24706678 0.96744599 -14.155884 55.430572
    Unten rechts KachelX + 1 60383 KachelY + 1 41183 -0.24701884 0.96744599 -14.153137 55.430572
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96747319-0.96744599) × R
    2.7200000000005e-05 × 6371000     		dl = 173.291200000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96747319-0.96744599) × R
    2.7200000000005e-05 × 6371000     		dr = 173.291200000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24706678--0.24701884) × cos(0.96747319) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.567382053759244 × 6371000     		do = 173.293083632224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24706678--0.24701884) × cos(0.96744599) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.56740445151657 × 6371000     		du = 173.29992448383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96747319)-sin(0.96744599))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567382053759244-0.56740445151657)×R²
    abs(-0.24701884--0.24706678)×2.23977573257095e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.23977573257095e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.23977573257095e-05×40589641000000     		ar = 30030.759145813m²