Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60382 / 40214
↖ ↑ ↗
← N 56.912001°
W 14.155884°		 ← 166.74 m → N 56.912001°
W 14.153137°		 →
↑
166.73 m
↓
↑
166.73 m
↓
N 56.910502°
W 14.155884°		 ← 166.75 m →
27 801 m²		 N 56.910502°
W 14.153137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60382 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460681915283203 y=0.306812286376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460681915283203 × 217)
    floor (0.460681915283203 × 131072)
    floor (60382.5)     		tx = 60382
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306812286376953 × 217)
    floor (0.306812286376953 × 131072)
    floor (40214.5)     		ty = 40214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60382 / 40214 ti = "17/60382/40214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60382/40214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60382 ÷ 217
    60382 ÷ 131072     		x = 0.460678100585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40214 ÷ 217
    40214 ÷ 131072     		y = 0.306808471679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460678100585938 × 2 - 1) × π
    -0.078643798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24706678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306808471679688 × 2 - 1) × π
    0.386383056640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.21385817217906
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24706678} λ = -0.24706678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21385817217906))-π/2
    2×atan(3.36644796500369)-π/2
    2×1.28204906625412-π/2
    2.56409813250823-1.57079632675     		φ = 0.99330181
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24706678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.155884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99330181 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.912001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60382 KachelY 40214 -0.24706678 0.99330181 -14.155884 56.912001
    Oben rechts KachelX + 1 60383 KachelY 40214 -0.24701884 0.99330181 -14.153137 56.912001
    Unten links KachelX 60382 KachelY + 1 40215 -0.24706678 0.99327564 -14.155884 56.910502
    Unten rechts KachelX + 1 60383 KachelY + 1 40215 -0.24701884 0.99327564 -14.153137 56.910502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99330181-0.99327564) × R
    2.61699999999365e-05 × 6371000     		dl = 166.729069999596m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99330181-0.99327564) × R
    2.61699999999365e-05 × 6371000     		dr = 166.729069999596m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24706678--0.24701884) × cos(0.99330181) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.545926475769006 × 6371000     		do = 166.739997847425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24706678--0.24701884) × cos(0.99327564) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.545948401673968 × 6371000     		du = 166.746694583173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99330181)-sin(0.99327564))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545926475769006-0.545948401673968)×R²
    abs(-0.24701884--0.24706678)×2.19259049618614e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.19259049618614e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.19259049618614e-05×40589641000000     		ar = 27800.9630445962m²