Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60382 / 39783
↖ ↑ ↗
← N 57.552682°
W 14.155884°		 ← 163.87 m → N 57.552682°
W 14.153137°		 →
↑
163.86 m
↓
↑
163.86 m
↓
N 57.551208°
W 14.155884°		 ← 163.87 m →
26 852 m²		 N 57.551208°
W 14.153137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60382 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460681915283203 y=0.303524017333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460681915283203 × 217)
    floor (0.460681915283203 × 131072)
    floor (60382.5)     		tx = 60382
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303524017333984 × 217)
    floor (0.303524017333984 × 131072)
    floor (39783.5)     		ty = 39783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60382 / 39783 ti = "17/60382/39783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60382/39783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60382 ÷ 217
    60382 ÷ 131072     		x = 0.460678100585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39783 ÷ 217
    39783 ÷ 131072     		y = 0.303520202636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460678100585938 × 2 - 1) × π
    -0.078643798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24706678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303520202636719 × 2 - 1) × π
    0.392959594726562 × 3.1415926535     		Φ = 1.23451897591531
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24706678} λ = -0.24706678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23451897591531))-π/2
    2×atan(3.43672497555378)-π/2
    2×1.28764005764619-π/2
    2.57528011529237-1.57079632675     		φ = 1.00448379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24706678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.155884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00448379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.552682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60382 KachelY 39783 -0.24706678 1.00448379 -14.155884 57.552682
    Oben rechts KachelX + 1 60383 KachelY 39783 -0.24701884 1.00448379 -14.153137 57.552682
    Unten links KachelX 60382 KachelY + 1 39784 -0.24706678 1.00445807 -14.155884 57.551208
    Unten rechts KachelX + 1 60383 KachelY + 1 39784 -0.24701884 1.00445807 -14.153137 57.551208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00448379-1.00445807) × R
    2.57200000000068e-05 × 6371000     		dl = 163.862120000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00448379-1.00445807) × R
    2.57200000000068e-05 × 6371000     		dr = 163.862120000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24706678--0.24701884) × cos(1.00448379) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.536523908113003 × 6371000     		do = 163.868211663188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24706678--0.24701884) × cos(1.00445807) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.536545612660831 × 6371000     		du = 163.87484079077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00448379)-sin(1.00445807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.536523908113003-0.536545612660831)×R²
    abs(-0.24701884--0.24706678)×2.17045478279054e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.17045478279054e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.17045478279054e-05×40589641000000     		ar = 26852.3356966791m²