Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60382 / 30142
↖ ↑ ↗
← N 69.226945°
W 14.155884°		 ← 108.32 m → N 69.226945°
W 14.153137°		 →
↑
108.31 m
↓
↑
108.31 m
↓
N 69.225971°
W 14.155884°		 ← 108.33 m →
11 733 m²		 N 69.225971°
W 14.153137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60382 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460681915283203 y=0.229969024658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460681915283203 × 217)
    floor (0.460681915283203 × 131072)
    floor (60382.5)     		tx = 60382
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229969024658203 × 217)
    floor (0.229969024658203 × 131072)
    floor (30142.5)     		ty = 30142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60382 / 30142 ti = "17/60382/30142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60382/30142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60382 ÷ 217
    60382 ÷ 131072     		x = 0.460678100585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30142 ÷ 217
    30142 ÷ 131072     		y = 0.229965209960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460678100585938 × 2 - 1) × π
    -0.078643798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24706678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229965209960938 × 2 - 1) × π
    0.540069580078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.69667862515227
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24706678} λ = -0.24706678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69667862515227))-π/2
    2×atan(5.45579652015265)-π/2
    2×1.38951722569475-π/2
    2.7790344513895-1.57079632675     		φ = 1.20823812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24706678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.155884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20823812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.226945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60382 KachelY 30142 -0.24706678 1.20823812 -14.155884 69.226945
    Oben rechts KachelX + 1 60383 KachelY 30142 -0.24701884 1.20823812 -14.153137 69.226945
    Unten links KachelX 60382 KachelY + 1 30143 -0.24706678 1.20822112 -14.155884 69.225971
    Unten rechts KachelX + 1 60383 KachelY + 1 30143 -0.24701884 1.20822112 -14.153137 69.225971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20823812-1.20822112) × R
    1.70000000001558e-05 × 6371000     		dl = 108.307000000992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20823812-1.20822112) × R
    1.70000000001558e-05 × 6371000     		dr = 108.307000000992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24706678--0.24701884) × cos(1.20823812) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.354667295562291 × 6371000     		do = 108.324521200966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24706678--0.24701884) × cos(1.20822112) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.354683190384762 × 6371000     		du = 108.329375888881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20823812)-sin(1.20822112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354667295562291-0.354683190384762)×R²
    abs(-0.24701884--0.24706678)×1.58948224717737e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.58948224717737e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.58948224717737e-05×40589641000000     		ar = 11732.5668164513m²