Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60381 / 39954
↖ ↑ ↗
← N 57.299822°
W 14.158631°		 ← 165 m → N 57.299822°
W 14.155884°		 →
↑
165.01 m
↓
↑
165.01 m
↓
N 57.298338°
W 14.158631°		 ← 165.01 m →
27 228 m²		 N 57.298338°
W 14.155884°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60381 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460674285888672 y=0.304828643798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460674285888672 × 217)
    floor (0.460674285888672 × 131072)
    floor (60381.5)     		tx = 60381
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304828643798828 × 217)
    floor (0.304828643798828 × 131072)
    floor (39954.5)     		ty = 39954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60381 / 39954 ti = "17/60381/39954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60381/39954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60381 ÷ 217
    60381 ÷ 131072     		x = 0.460670471191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39954 ÷ 217
    39954 ÷ 131072     		y = 0.304824829101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460670471191406 × 2 - 1) × π
    -0.0786590576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24711472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304824829101562 × 2 - 1) × π
    0.390350341796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.22632176608028
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24711472} λ = -0.24711472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22632176608028))-π/2
    2×atan(3.40866856901195)-π/2
    2×1.28543344190194-π/2
    2.57086688380388-1.57079632675     		φ = 1.00007056
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24711472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.158631°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00007056 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.299822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60381 KachelY 39954 -0.24711472 1.00007056 -14.158631 57.299822
    Oben rechts KachelX + 1 60382 KachelY 39954 -0.24706678 1.00007056 -14.155884 57.299822
    Unten links KachelX 60381 KachelY + 1 39955 -0.24711472 1.00004466 -14.158631 57.298338
    Unten rechts KachelX + 1 60382 KachelY + 1 39955 -0.24706678 1.00004466 -14.155884 57.298338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00007056-1.00004466) × R
    2.59000000000231e-05 × 6371000     		dl = 165.008900000147m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00007056-1.00004466) × R
    2.59000000000231e-05 × 6371000     		dr = 165.008900000147m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24711472--0.24706678) × cos(1.00007056) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.540242930330496 × 6371000     		do = 165.004096775947m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24711472--0.24706678) × cos(1.00004466) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.54026472523515 × 6371000     		du = 165.01075350083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00007056)-sin(1.00004466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.540242930330496-0.54026472523515)×R²
    abs(-0.24706678--0.24711472)×2.17949046543708e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.17949046543708e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.17949046543708e-05×40589641000000     		ar = 27227.6937154541m²