Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60380 / 84012
↖ ↑ ↗
← S 45.174292°
W 14.161377°		 ← 215.27 m → S 45.174292°
W 14.158631°		 →
↑
215.28 m
↓
↑
215.28 m
↓
S 45.176228°
W 14.161377°		 ← 215.26 m →
46 341 m²		 S 45.176228°
W 14.158631°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460666656494141 y=0.640964508056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460666656494141 × 217)
    floor (0.460666656494141 × 131072)
    floor (60380.5)     		tx = 60380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640964508056641 × 217)
    floor (0.640964508056641 × 131072)
    floor (84012.5)     		ty = 84012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60380 / 84012 ti = "17/60380/84012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60380/84012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60380 ÷ 217
    60380 ÷ 131072     		x = 0.460662841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84012 ÷ 217
    84012 ÷ 131072     		y = 0.640960693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460662841796875 × 2 - 1) × π
    -0.07867431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24716265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640960693359375 × 2 - 1) × π
    -0.28192138671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.885682157380157
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24716265} λ = -0.24716265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.885682157380157))-π/2
    2×atan(0.412432733263957)-π/2
    2×0.391178092504272-π/2
    0.782356185008544-1.57079632675     		φ = -0.78844014
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24716265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.161377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78844014 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.174292°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60380 KachelY 84012 -0.24716265 -0.78844014 -14.161377 -45.174292
    Oben rechts KachelX + 1 60381 KachelY 84012 -0.24711472 -0.78844014 -14.158631 -45.174292
    Unten links KachelX 60380 KachelY + 1 84013 -0.24716265 -0.78847393 -14.161377 -45.176228
    Unten rechts KachelX + 1 60381 KachelY + 1 84013 -0.24711472 -0.78847393 -14.158631 -45.176228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78844014--0.78847393) × R
    3.37900000000335e-05 × 6371000     		dl = 215.276090000214m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78844014--0.78847393) × R
    3.37900000000335e-05 × 6371000     		dr = 215.276090000214m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24716265--0.24711472) × cos(-0.78844014) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.704952510573311 × 6371000     		do = 215.26572968227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24716265--0.24711472) × cos(-0.78847393) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.704928544461028 × 6371000     		du = 215.258411341572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78844014)-sin(-0.78847393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.704952510573311-0.704928544461028)×R²
    abs(-0.24711472--0.24716265)×2.3966112282614e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.3966112282614e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.3966112282614e-05×40589641000000     		ar = 46340.776869586m²