Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60380 / 42029
↖ ↑ ↗
← N 54.090006°
W 14.161377°		 ← 179.10 m → N 54.090006°
W 14.158631°		 →
↑
179.09 m
↓
↑
179.09 m
↓
N 54.088396°
W 14.161377°		 ← 179.11 m →
32 075 m²		 N 54.088396°
W 14.158631°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460666656494141 y=0.320659637451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460666656494141 × 217)
    floor (0.460666656494141 × 131072)
    floor (60380.5)     		tx = 60380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320659637451172 × 217)
    floor (0.320659637451172 × 131072)
    floor (42029.5)     		ty = 42029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60380 / 42029 ti = "17/60380/42029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60380/42029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60380 ÷ 217
    60380 ÷ 131072     		x = 0.460662841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42029 ÷ 217
    42029 ÷ 131072     		y = 0.320655822753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460662841796875 × 2 - 1) × π
    -0.07867431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24716265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320655822753906 × 2 - 1) × π
    0.358688354492188 × 3.1415926535     		Φ = 1.12685269936866
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24716265} λ = -0.24716265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12685269936866))-π/2
    2×atan(3.08592885440997)-π/2
    2×1.25742251566542-π/2
    2.51484503133085-1.57079632675     		φ = 0.94404870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24716265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.161377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94404870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.090006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60380 KachelY 42029 -0.24716265 0.94404870 -14.161377 54.090006
    Oben rechts KachelX + 1 60381 KachelY 42029 -0.24711472 0.94404870 -14.158631 54.090006
    Unten links KachelX 60380 KachelY + 1 42030 -0.24716265 0.94402059 -14.161377 54.088396
    Unten rechts KachelX + 1 60381 KachelY + 1 42030 -0.24711472 0.94402059 -14.158631 54.088396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94404870-0.94402059) × R
    2.81099999999146e-05 × 6371000     		dl = 179.088809999456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94404870-0.94402059) × R
    2.81099999999146e-05 × 6371000     		dr = 179.088809999456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24716265--0.24711472) × cos(0.94404870) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.586513639594703 × 6371000     		do = 179.098995609333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24716265--0.24711472) × cos(0.94402059) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.586536406758103 × 6371000     		du = 179.105947836566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94404870)-sin(0.94402059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.586513639594703-0.586536406758103)×R²
    abs(-0.24711472--0.24716265)×2.27671634002169e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.27671634002169e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.27671634002169e-05×40589641000000     		ar = 32075.2485309431m²