Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60380 / 42020
↖ ↑ ↗
← N 54.104502°
W 14.161377°		 ← 179.04 m → N 54.104502°
W 14.158631°		 →
↑
179.09 m
↓
↑
179.09 m
↓
N 54.102891°
W 14.161377°		 ← 179.04 m →
32 064 m²		 N 54.102891°
W 14.158631°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460666656494141 y=0.320590972900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460666656494141 × 217)
    floor (0.460666656494141 × 131072)
    floor (60380.5)     		tx = 60380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320590972900391 × 217)
    floor (0.320590972900391 × 131072)
    floor (42020.5)     		ty = 42020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60380 / 42020 ti = "17/60380/42020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60380/42020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60380 ÷ 217
    60380 ÷ 131072     		x = 0.460662841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42020 ÷ 217
    42020 ÷ 131072     		y = 0.320587158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460662841796875 × 2 - 1) × π
    -0.07867431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24716265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320587158203125 × 2 - 1) × π
    0.35882568359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.12728413146524
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24716265} λ = -0.24716265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12728413146524))-π/2
    2×atan(3.08726051040444)-π/2
    2×1.2575490139652-π/2
    2.51509802793041-1.57079632675     		φ = 0.94430170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24716265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.161377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94430170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.104502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60380 KachelY 42020 -0.24716265 0.94430170 -14.161377 54.104502
    Oben rechts KachelX + 1 60381 KachelY 42020 -0.24711472 0.94430170 -14.158631 54.104502
    Unten links KachelX 60380 KachelY + 1 42021 -0.24716265 0.94427359 -14.161377 54.102891
    Unten rechts KachelX + 1 60381 KachelY + 1 42021 -0.24711472 0.94427359 -14.158631 54.102891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94430170-0.94427359) × R
    2.81100000000256e-05 × 6371000     		dl = 179.088810000163m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94430170-0.94427359) × R
    2.81100000000256e-05 × 6371000     		dr = 179.088810000163m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24716265--0.24711472) × cos(0.94430170) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.58630870617028 × 6371000     		do = 179.036416722836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24716265--0.24711472) × cos(0.94427359) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.586331477504218 × 6371000     		du = 179.043370223593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94430170)-sin(0.94427359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58630870617028-0.586331477504218)×R²
    abs(-0.24711472--0.24716265)×2.27713339377988e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.27713339377988e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.27713339377988e-05×40589641000000     		ar = 32064.0414668095m²