Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60378 / 39838
↖ ↑ ↗
← N 57.471543°
W 14.166870°		 ← 164.23 m → N 57.471543°
W 14.164123°		 →
↑
164.18 m
↓
↑
164.18 m
↓
N 57.470066°
W 14.166870°		 ← 164.24 m →
26 964 m²		 N 57.470066°
W 14.164123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60378 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39838 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460651397705078 y=0.303943634033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460651397705078 × 217)
    floor (0.460651397705078 × 131072)
    floor (60378.5)     		tx = 60378
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303943634033203 × 217)
    floor (0.303943634033203 × 131072)
    floor (39838.5)     		ty = 39838
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60378 / 39838 ti = "17/60378/39838"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60378/39838.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60378 ÷ 217
    60378 ÷ 131072     		x = 0.460647583007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39838 ÷ 217
    39838 ÷ 131072     		y = 0.303939819335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460647583007812 × 2 - 1) × π
    -0.078704833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24725853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303939819335938 × 2 - 1) × π
    0.392120361328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.2318824464362
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24725853} λ = -0.24725853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2318824464362))-π/2
    2×atan(3.42767588318546)-π/2
    2×1.28693198992304-π/2
    2.57386397984608-1.57079632675     		φ = 1.00306765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24725853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.166870°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00306765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.471543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60378 KachelY 39838 -0.24725853 1.00306765 -14.166870 57.471543
    Oben rechts KachelX + 1 60379 KachelY 39838 -0.24721059 1.00306765 -14.164123 57.471543
    Unten links KachelX 60378 KachelY + 1 39839 -0.24725853 1.00304188 -14.166870 57.470066
    Unten rechts KachelX + 1 60379 KachelY + 1 39839 -0.24721059 1.00304188 -14.164123 57.470066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00306765-1.00304188) × R
    2.5769999999925e-05 × 6371000     		dl = 164.180669999522m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00306765-1.00304188) × R
    2.5769999999925e-05 × 6371000     		dr = 164.180669999522m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24725853--0.24721059) × cos(1.00306765) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.537718429201107 × 6371000     		do = 164.233049150373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24725853--0.24721059) × cos(1.00304188) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.53774015634044 × 6371000     		du = 164.239685177982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00306765)-sin(1.00304188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.537718429201107-0.53774015634044)×R²
    abs(-0.24721059--0.24725853)×2.17271393321283e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.17271393321283e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.17271393321283e-05×40589641000000     		ar = 26964.436800902m²