Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60376 / 40168
↖ ↑ ↗
← N 56.980912°
W 14.172363°		 ← 166.40 m → N 56.980912°
W 14.169617°		 →
↑
166.47 m
↓
↑
166.47 m
↓
N 56.979415°
W 14.172363°		 ← 166.40 m →
27 701 m²		 N 56.979415°
W 14.169617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460636138916016 y=0.306461334228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460636138916016 × 217)
    floor (0.460636138916016 × 131072)
    floor (60376.5)     		tx = 60376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306461334228516 × 217)
    floor (0.306461334228516 × 131072)
    floor (40168.5)     		ty = 40168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60376 / 40168 ti = "17/60376/40168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60376/40168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60376 ÷ 217
    60376 ÷ 131072     		x = 0.46063232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40168 ÷ 217
    40168 ÷ 131072     		y = 0.30645751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46063232421875 × 2 - 1) × π
    -0.0787353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24735440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30645751953125 × 2 - 1) × π
    0.3870849609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.21606326956158
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24735440} λ = -0.24735440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21606326956158))-π/2
    2×atan(3.37387950121896)-π/2
    2×1.28265042096076-π/2
    2.56530084192152-1.57079632675     		φ = 0.99450452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24735440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.172363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99450452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.980912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60376 KachelY 40168 -0.24735440 0.99450452 -14.172363 56.980912
    Oben rechts KachelX + 1 60377 KachelY 40168 -0.24730647 0.99450452 -14.169617 56.980912
    Unten links KachelX 60376 KachelY + 1 40169 -0.24735440 0.99447839 -14.172363 56.979415
    Unten rechts KachelX + 1 60377 KachelY + 1 40169 -0.24730647 0.99447839 -14.169617 56.979415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99450452-0.99447839) × R
    2.61299999999576e-05 × 6371000     		dl = 166.47422999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99450452-0.99447839) × R
    2.61299999999576e-05 × 6371000     		dr = 166.47422999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24735440--0.24730647) × cos(0.99450452) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.54491841093451 × 6371000     		do = 166.397392147342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24735440--0.24730647) × cos(0.99447839) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.544940320467954 × 6371000     		du = 166.404082486951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99450452)-sin(0.99447839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.54491841093451-0.544940320467954)×R²
    abs(-0.24730647--0.24735440)×2.19095334442754e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.19095334442754e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.19095334442754e-05×40589641000000     		ar = 27701.4346177387m²