Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60374 / 84022
↖ ↑ ↗
← S 45.193652°
W 14.177857°		 ← 215.24 m → S 45.193652°
W 14.175110°		 →
↑
215.21 m
↓
↑
215.21 m
↓
S 45.195587°
W 14.177857°		 ← 215.23 m →
46 321 m²		 S 45.195587°
W 14.175110°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60374 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460620880126953 y=0.641040802001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460620880126953 × 217)
    floor (0.460620880126953 × 131072)
    floor (60374.5)     		tx = 60374
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641040802001953 × 217)
    floor (0.641040802001953 × 131072)
    floor (84022.5)     		ty = 84022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60374 / 84022 ti = "17/60374/84022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60374/84022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60374 ÷ 217
    60374 ÷ 131072     		x = 0.460617065429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84022 ÷ 217
    84022 ÷ 131072     		y = 0.641036987304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460617065429688 × 2 - 1) × π
    -0.078765869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24745028
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641036987304688 × 2 - 1) × π
    -0.282073974609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.886161526376358
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24745028} λ = -0.24745028}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.886161526376358))-π/2
    2×atan(0.412235073178456)-π/2
    2×0.391009155039652-π/2
    0.782018310079303-1.57079632675     		φ = -0.78877802
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24745028} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.177857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78877802 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.193652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60374 KachelY 84022 -0.24745028 -0.78877802 -14.177857 -45.193652
    Oben rechts KachelX + 1 60375 KachelY 84022 -0.24740234 -0.78877802 -14.175110 -45.193652
    Unten links KachelX 60374 KachelY + 1 84023 -0.24745028 -0.78881180 -14.177857 -45.195587
    Unten rechts KachelX + 1 60375 KachelY + 1 84023 -0.24740234 -0.78881180 -14.175110 -45.195587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78877802--0.78881180) × R
    3.37799999999833e-05 × 6371000     		dl = 215.212379999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78877802--0.78881180) × R
    3.37799999999833e-05 × 6371000     		dr = 215.212379999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24745028--0.24740234) × cos(-0.78877802) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.704712827424827 × 6371000     		do = 215.237436803704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24745028--0.24740234) × cos(-0.78881180) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.704688860360796 × 6371000     		du = 215.230116645436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78877802)-sin(-0.78881180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.704712827424827-0.704688860360796)×R²
    abs(-0.24740234--0.24745028)×2.39670640312939e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39670640312939e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39670640312939e-05×40589641000000     		ar = 46320.9733496033m²