Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60373 / 84019
↖ ↑ ↗
← S 45.187845°
W 14.180603°		 ← 215.21 m → S 45.187845°
W 14.177857°		 →
↑
215.21 m
↓
↑
215.21 m
↓
S 45.189780°
W 14.180603°		 ← 215.21 m →
46 316 m²		 S 45.189780°
W 14.177857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460613250732422 y=0.641017913818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460613250732422 × 217)
    floor (0.460613250732422 × 131072)
    floor (60373.5)     		tx = 60373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641017913818359 × 217)
    floor (0.641017913818359 × 131072)
    floor (84019.5)     		ty = 84019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60373 / 84019 ti = "17/60373/84019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60373/84019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60373 ÷ 217
    60373 ÷ 131072     		x = 0.460609436035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84019 ÷ 217
    84019 ÷ 131072     		y = 0.641014099121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460609436035156 × 2 - 1) × π
    -0.0787811279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24749821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641014099121094 × 2 - 1) × π
    -0.282028198242188 × 3.1415926535     		Φ = -0.886017715677498
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24749821} λ = -0.24749821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.886017715677498))-π/2
    2×atan(0.412294361255452)-π/2
    2×0.391059830247055-π/2
    0.782119660494109-1.57079632675     		φ = -0.78867667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24749821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.180603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78867667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.187845°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60373 KachelY 84019 -0.24749821 -0.78867667 -14.180603 -45.187845
    Oben rechts KachelX + 1 60374 KachelY 84019 -0.24745028 -0.78867667 -14.177857 -45.187845
    Unten links KachelX 60373 KachelY + 1 84020 -0.24749821 -0.78871045 -14.180603 -45.189780
    Unten rechts KachelX + 1 60374 KachelY + 1 84020 -0.24745028 -0.78871045 -14.177857 -45.189780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78867667--0.78871045) × R
    3.37799999999833e-05 × 6371000     		dl = 215.212379999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78867667--0.78871045) × R
    3.37799999999833e-05 × 6371000     		dr = 215.212379999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24749821--0.24745028) × cos(-0.78867667) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.704784730886186 × 6371000     		do = 215.214496136417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24749821--0.24745028) × cos(-0.78871045) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.704760766234894 × 6371000     		du = 215.20717824185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78867667)-sin(-0.78871045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.704784730886186-0.704760766234894)×R²
    abs(-0.24745028--0.24749821)×2.39646512922853e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39646512922853e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39646512922853e-05×40589641000000     		ar = 46316.0364776631m²