Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60371 / 82646
↖ ↑ ↗
← S 42.468045°
W 14.186096°		 ← 225.30 m → S 42.468045°
W 14.183350°		 →
↑
225.28 m
↓
↑
225.28 m
↓
S 42.470071°
W 14.186096°		 ← 225.29 m →
50 754 m²		 S 42.470071°
W 14.183350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60371 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460597991943359 y=0.630542755126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460597991943359 × 217)
    floor (0.460597991943359 × 131072)
    floor (60371.5)     		tx = 60371
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630542755126953 × 217)
    floor (0.630542755126953 × 131072)
    floor (82646.5)     		ty = 82646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60371 / 82646 ti = "17/60371/82646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60371/82646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60371 ÷ 217
    60371 ÷ 131072     		x = 0.460594177246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82646 ÷ 217
    82646 ÷ 131072     		y = 0.630538940429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460594177246094 × 2 - 1) × π
    -0.0788116455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24759409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630538940429688 × 2 - 1) × π
    -0.261077880859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.820200352499161
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24759409} λ = -0.24759409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.820200352499161))-π/2
    2×atan(0.44034342176243)-π/2
    2×0.41479455746219-π/2
    0.829589114924379-1.57079632675     		φ = -0.74120721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24759409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.186096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74120721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.468045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60371 KachelY 82646 -0.24759409 -0.74120721 -14.186096 -42.468045
    Oben rechts KachelX + 1 60372 KachelY 82646 -0.24754615 -0.74120721 -14.183350 -42.468045
    Unten links KachelX 60371 KachelY + 1 82647 -0.24759409 -0.74124257 -14.186096 -42.470071
    Unten rechts KachelX + 1 60372 KachelY + 1 82647 -0.24754615 -0.74124257 -14.183350 -42.470071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74120721--0.74124257) × R
    3.53600000000398e-05 × 6371000     		dl = 225.278560000254m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74120721--0.74124257) × R
    3.53600000000398e-05 × 6371000     		dr = 225.278560000254m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24759409--0.24754615) × cos(-0.74120721) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.737654013711786 × 6371000     		do = 225.298523001875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24759409--0.24754615) × cos(-0.74124257) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.737630138924495 × 6371000     		du = 225.291231027299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74120721)-sin(-0.74124257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737654013711786-0.737630138924495)×R²
    abs(-0.24754615--0.24759409)×2.3874787291378e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.3874787291378e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.3874787291378e-05×40589641000000     		ar = 50754.1054745441m²