Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60370 / 39830
↖ ↑ ↗
← N 57.483356°
W 14.188843°		 ← 164.15 m → N 57.483356°
W 14.186096°		 →
↑
164.18 m
↓
↑
164.18 m
↓
N 57.481880°
W 14.188843°		 ← 164.15 m →
26 950 m²		 N 57.481880°
W 14.186096°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460590362548828 y=0.303882598876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460590362548828 × 217)
    floor (0.460590362548828 × 131072)
    floor (60370.5)     		tx = 60370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303882598876953 × 217)
    floor (0.303882598876953 × 131072)
    floor (39830.5)     		ty = 39830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60370 / 39830 ti = "17/60370/39830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60370/39830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60370 ÷ 217
    60370 ÷ 131072     		x = 0.460586547851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39830 ÷ 217
    39830 ÷ 131072     		y = 0.303878784179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460586547851562 × 2 - 1) × π
    -0.078826904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24764202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303878784179688 × 2 - 1) × π
    0.392242431640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.23226594163316
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24764202} λ = -0.24764202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23226594163316))-π/2
    2×atan(3.42899063250731)-π/2
    2×1.28703507947219-π/2
    2.57407015894437-1.57079632675     		φ = 1.00327383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24764202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.188843°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00327383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.483356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60370 KachelY 39830 -0.24764202 1.00327383 -14.188843 57.483356
    Oben rechts KachelX + 1 60371 KachelY 39830 -0.24759409 1.00327383 -14.186096 57.483356
    Unten links KachelX 60370 KachelY + 1 39831 -0.24764202 1.00324806 -14.188843 57.481880
    Unten rechts KachelX + 1 60371 KachelY + 1 39831 -0.24759409 1.00324806 -14.186096 57.481880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00327383-1.00324806) × R
    2.5769999999925e-05 × 6371000     		dl = 164.180669999522m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00327383-1.00324806) × R
    2.5769999999925e-05 × 6371000     		dr = 164.180669999522m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24764202--0.24759409) × cos(1.00327383) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.537544582367536 × 6371000     		do = 164.145704887259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24764202--0.24759409) × cos(1.00324806) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.537566312363501 × 6371000     		du = 164.152340402938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00327383)-sin(1.00324806))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.537544582367536-0.537566312363501)×R²
    abs(-0.24759409--0.24764202)×2.17299959649475e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.17299959649475e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.17299959649475e-05×40589641000000     		ar = 26950.0965191248m²