Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6037 / 6781
↖ ↑ ↗
← N 29.592565°
W 47.351074°		 ← 2 124.57 m → N 29.592565°
W 47.329101°		 →
↑
2 124.73 m
↓
↑
2 124.73 m
↓
N 29.573457°
W 47.351074°		 ← 2 124.98 m →
4 514 572 m²		 N 29.573457°
W 47.329101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6037 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.368499755859375 y=0.413909912109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.368499755859375 × 214)
    floor (0.368499755859375 × 16384)
    floor (6037.5)     		tx = 6037
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.413909912109375 × 214)
    floor (0.413909912109375 × 16384)
    floor (6781.5)     		ty = 6781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6037 / 6781 ti = "14/6037/6781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6037/6781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6037 ÷ 214
    6037 ÷ 16384     		x = 0.36846923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6781 ÷ 214
    6781 ÷ 16384     		y = 0.41387939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36846923828125 × 2 - 1) × π
    -0.2630615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.82643215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41387939453125 × 2 - 1) × π
    0.1722412109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.541111722911194
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82643215} λ = -0.82643215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.541111722911194))-π/2
    2×atan(1.71791564715271)-π/2
    2×1.04364201359052-π/2
    2.08728402718104-1.57079632675     		φ = 0.51648770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82643215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.351074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51648770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.592565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6037 KachelY 6781 -0.82643215 0.51648770 -47.351074 29.592565
    Oben rechts KachelX + 1 6038 KachelY 6781 -0.82604865 0.51648770 -47.329101 29.592565
    Unten links KachelX 6037 KachelY + 1 6782 -0.82643215 0.51615420 -47.351074 29.573457
    Unten rechts KachelX + 1 6038 KachelY + 1 6782 -0.82604865 0.51615420 -47.329101 29.573457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51648770-0.51615420) × R
    0.000333499999999987 × 6371000     		dl = 2124.72849999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51648770-0.51615420) × R
    0.000333499999999987 × 6371000     		dr = 2124.72849999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82643215--0.82604865) × cos(0.51648770) × R
    0.000383499999999981 × 0.869559015385378 × 6371000     		do = 2124.57484677216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82643215--0.82604865) × cos(0.51615420) × R
    0.000383499999999981 × 0.86972365900934 × 6371000     		du = 2124.97711699875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51648770)-sin(0.51615420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.869559015385378-0.86972365900934)×R²
    abs(-0.82604865--0.82643215)×0.000164643623962069×R²
    0.000383499999999981×0.000164643623962069×6371000²
    0.000383499999999981×0.000164643623962069×40589641000000     		ar = 4514572.12667086m²