Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60364 / 40200
↖ ↑ ↗
← N 56.932987°
W 14.205322°		 ← 166.61 m → N 56.932987°
W 14.202576°		 →
↑
166.60 m
↓
↑
166.60 m
↓
N 56.931489°
W 14.205322°		 ← 166.62 m →
27 758 m²		 N 56.931489°
W 14.202576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60364 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460544586181641 y=0.306705474853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460544586181641 × 217)
    floor (0.460544586181641 × 131072)
    floor (60364.5)     		tx = 60364
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306705474853516 × 217)
    floor (0.306705474853516 × 131072)
    floor (40200.5)     		ty = 40200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60364 / 40200 ti = "17/60364/40200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60364/40200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60364 ÷ 217
    60364 ÷ 131072     		x = 0.460540771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40200 ÷ 217
    40200 ÷ 131072     		y = 0.30670166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460540771484375 × 2 - 1) × π
    -0.07891845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24792964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30670166015625 × 2 - 1) × π
    0.3865966796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.21452928877374
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24792964} λ = -0.24792964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21452928877374))-π/2
    2×atan(3.36870800238761)-π/2
    2×1.28223220491714-π/2
    2.56446440983428-1.57079632675     		φ = 0.99366808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24792964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.205322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99366808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.932987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60364 KachelY 40200 -0.24792964 0.99366808 -14.205322 56.932987
    Oben rechts KachelX + 1 60365 KachelY 40200 -0.24788171 0.99366808 -14.202576 56.932987
    Unten links KachelX 60364 KachelY + 1 40201 -0.24792964 0.99364193 -14.205322 56.931489
    Unten rechts KachelX + 1 60365 KachelY + 1 40201 -0.24788171 0.99364193 -14.202576 56.931489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99366808-0.99364193) × R
    2.6149999999947e-05 × 6371000     		dl = 166.601649999663m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99366808-0.99364193) × R
    2.6149999999947e-05 × 6371000     		dr = 166.601649999663m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24792964--0.24788171) × cos(0.99366808) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.545619566031759 × 6371000     		do = 166.611498291182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24792964--0.24788171) × cos(0.99364193) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.545641480407842 × 6371000     		du = 166.618190109549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99366808)-sin(0.99364193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545619566031759-0.545641480407842)×R²
    abs(-0.24788171--0.24792964)×2.19143760831209e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.19143760831209e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.19143760831209e-05×40589641000000     		ar = 27758.3079597515m²