Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60363 / 40619
↖ ↑ ↗
← N 56.299777°
W 14.208069°		 ← 169.46 m → N 56.299777°
W 14.205322°		 →
↑
169.47 m
↓
↑
169.47 m
↓
N 56.298253°
W 14.208069°		 ← 169.47 m →
28 720 m²		 N 56.298253°
W 14.205322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60363 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460536956787109 y=0.309902191162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460536956787109 × 217)
    floor (0.460536956787109 × 131072)
    floor (60363.5)     		tx = 60363
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309902191162109 × 217)
    floor (0.309902191162109 × 131072)
    floor (40619.5)     		ty = 40619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60363 / 40619 ti = "17/60363/40619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60363/40619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60363 ÷ 217
    60363 ÷ 131072     		x = 0.460533142089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40619 ÷ 217
    40619 ÷ 131072     		y = 0.309898376464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460533142089844 × 2 - 1) × π
    -0.0789337158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24797758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309898376464844 × 2 - 1) × π
    0.380203247070312 × 3.1415926535     		Φ = 1.19444372783294
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24797758} λ = -0.24797758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19444372783294))-π/2
    2×atan(3.30172060429125)-π/2
    2×1.27670640281136-π/2
    2.55341280562272-1.57079632675     		φ = 0.98261648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24797758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.208069°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98261648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.299777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60363 KachelY 40619 -0.24797758 0.98261648 -14.208069 56.299777
    Oben rechts KachelX + 1 60364 KachelY 40619 -0.24792964 0.98261648 -14.205322 56.299777
    Unten links KachelX 60363 KachelY + 1 40620 -0.24797758 0.98258988 -14.208069 56.298253
    Unten rechts KachelX + 1 60364 KachelY + 1 40620 -0.24792964 0.98258988 -14.205322 56.298253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98261648-0.98258988) × R
    2.65999999999877e-05 × 6371000     		dl = 169.468599999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98261648-0.98258988) × R
    2.65999999999877e-05 × 6371000     		dr = 169.468599999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24797758--0.24792964) × cos(0.98261648) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.554847662807566 × 6371000     		do = 169.464758000258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24797758--0.24792964) × cos(0.98258988) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.554869792533523 × 6371000     		du = 169.471516988185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98261648)-sin(0.98258988))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554847662807566-0.554869792533523)×R²
    abs(-0.24792964--0.24797758)×2.212972595661e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.212972595661e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.212972595661e-05×40589641000000     		ar = 28719.5280073965m²