Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60363 / 40189
↖ ↑ ↗
← N 56.949468°
W 14.208069°		 ← 166.57 m → N 56.949468°
W 14.205322°		 →
↑
166.60 m
↓
↑
166.60 m
↓
N 56.947970°
W 14.208069°		 ← 166.58 m →
27 752 m²		 N 56.947970°
W 14.205322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60363 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460536956787109 y=0.306621551513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460536956787109 × 217)
    floor (0.460536956787109 × 131072)
    floor (60363.5)     		tx = 60363
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306621551513672 × 217)
    floor (0.306621551513672 × 131072)
    floor (40189.5)     		ty = 40189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60363 / 40189 ti = "17/60363/40189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60363/40189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60363 ÷ 217
    60363 ÷ 131072     		x = 0.460533142089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40189 ÷ 217
    40189 ÷ 131072     		y = 0.306617736816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460533142089844 × 2 - 1) × π
    -0.0789337158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24797758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306617736816406 × 2 - 1) × π
    0.386764526367188 × 3.1415926535     		Φ = 1.21505659466956
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24797758} λ = -0.24797758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21505659466956))-π/2
    2×atan(3.37048481039806)-π/2
    2×1.28237602734162-π/2
    2.56475205468324-1.57079632675     		φ = 0.99395573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24797758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.208069°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99395573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.949468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60363 KachelY 40189 -0.24797758 0.99395573 -14.208069 56.949468
    Oben rechts KachelX + 1 60364 KachelY 40189 -0.24792964 0.99395573 -14.205322 56.949468
    Unten links KachelX 60363 KachelY + 1 40190 -0.24797758 0.99392958 -14.208069 56.947970
    Unten rechts KachelX + 1 60364 KachelY + 1 40190 -0.24792964 0.99392958 -14.205322 56.947970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99395573-0.99392958) × R
    2.61500000000581e-05 × 6371000     		dl = 166.60165000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99395573-0.99392958) × R
    2.61500000000581e-05 × 6371000     		dr = 166.60165000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24797758--0.24792964) × cos(0.99395573) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.545378483273083 × 6371000     		do = 166.572626833746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24797758--0.24792964) × cos(0.99392958) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.545400401752518 × 6371000     		du = 166.579321301547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99395573)-sin(0.99392958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545378483273083-0.545400401752518)×R²
    abs(-0.24792964--0.24797758)×2.19184794353344e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.19184794353344e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.19184794353344e-05×40589641000000     		ar = 27751.8321315849m²