Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60362 / 40201
↖ ↑ ↗
← N 56.931489°
W 14.210816°		 ← 166.65 m → N 56.931489°
W 14.208069°		 →
↑
166.67 m
↓
↑
166.67 m
↓
N 56.929990°
W 14.210816°		 ← 166.66 m →
27 776 m²		 N 56.929990°
W 14.208069°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460529327392578 y=0.306713104248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460529327392578 × 217)
    floor (0.460529327392578 × 131072)
    floor (60362.5)     		tx = 60362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306713104248047 × 217)
    floor (0.306713104248047 × 131072)
    floor (40201.5)     		ty = 40201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60362 / 40201 ti = "17/60362/40201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60362/40201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60362 ÷ 217
    60362 ÷ 131072     		x = 0.460525512695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40201 ÷ 217
    40201 ÷ 131072     		y = 0.306709289550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460525512695312 × 2 - 1) × π
    -0.078948974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24802552
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306709289550781 × 2 - 1) × π
    0.386581420898438 × 3.1415926535     		Φ = 1.21448135187412
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24802552} λ = -0.24802552}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21448135187412))-π/2
    2×atan(3.36854652084074)-π/2
    2×1.28221912699933-π/2
    2.56443825399867-1.57079632675     		φ = 0.99364193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24802552} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.210816°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99364193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.931489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60362 KachelY 40201 -0.24802552 0.99364193 -14.210816 56.931489
    Oben rechts KachelX + 1 60363 KachelY 40201 -0.24797758 0.99364193 -14.208069 56.931489
    Unten links KachelX 60362 KachelY + 1 40202 -0.24802552 0.99361577 -14.210816 56.929990
    Unten rechts KachelX + 1 60363 KachelY + 1 40202 -0.24797758 0.99361577 -14.208069 56.929990
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99364193-0.99361577) × R
    2.61599999999973e-05 × 6371000     		dl = 166.665359999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99364193-0.99361577) × R
    2.61599999999973e-05 × 6371000     		dr = 166.665359999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24802552--0.24797758) × cos(0.99364193) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.545641480407842 × 6371000     		do = 166.652952928248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24802552--0.24797758) × cos(0.99361577) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.545663402790848 × 6371000     		du = 166.6596485883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99364193)-sin(0.99361577))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545641480407842-0.545663402790848)×R²
    abs(-0.24797758--0.24802552)×2.19223830058013e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.19223830058013e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.19223830058013e-05×40589641000000     		ar = 27775.8323637008m²