Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60361 / 40187
↖ ↑ ↗
← N 56.952464°
W 14.213562°		 ← 166.56 m → N 56.952464°
W 14.210816°		 →
↑
166.54 m
↓
↑
166.54 m
↓
N 56.950966°
W 14.213562°		 ← 166.57 m →
27 739 m²		 N 56.950966°
W 14.210816°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60361 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460521697998047 y=0.306606292724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460521697998047 × 217)
    floor (0.460521697998047 × 131072)
    floor (60361.5)     		tx = 60361
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306606292724609 × 217)
    floor (0.306606292724609 × 131072)
    floor (40187.5)     		ty = 40187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60361 / 40187 ti = "17/60361/40187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60361/40187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60361 ÷ 217
    60361 ÷ 131072     		x = 0.460517883300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40187 ÷ 217
    40187 ÷ 131072     		y = 0.306602478027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460517883300781 × 2 - 1) × π
    -0.0789642333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24807346
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306602478027344 × 2 - 1) × π
    0.386795043945312 × 3.1415926535     		Φ = 1.2151524684688
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24807346} λ = -0.24807346}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2151524684688))-π/2
    2×atan(3.370807967073)-π/2
    2×1.28240217004487-π/2
    2.56480434008974-1.57079632675     		φ = 0.99400801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24807346} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.213562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99400801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.952464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60361 KachelY 40187 -0.24807346 0.99400801 -14.213562 56.952464
    Oben rechts KachelX + 1 60362 KachelY 40187 -0.24802552 0.99400801 -14.210816 56.952464
    Unten links KachelX 60361 KachelY + 1 40188 -0.24807346 0.99398187 -14.213562 56.950966
    Unten rechts KachelX + 1 60362 KachelY + 1 40188 -0.24802552 0.99398187 -14.210816 56.950966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99400801-0.99398187) × R
    2.61400000000078e-05 × 6371000     		dl = 166.53794000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99400801-0.99398187) × R
    2.61400000000078e-05 × 6371000     		dr = 166.53794000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24807346--0.24802552) × cos(0.99400801) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.54533466195977 × 6371000     		do = 166.5592426767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24807346--0.24802552) × cos(0.99398187) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.545356572802748 × 6371000     		du = 166.56593481213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99400801)-sin(0.99398187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.54533466195977-0.545356572802748)×R²
    abs(-0.24802552--0.24807346)×2.1910842977646e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.1910842977646e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.1910842977646e-05×40589641000000     		ar = 27738.9904122569m²