Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6036 / 10387
↖ ↑ ↗
← S 43.373112°
W 47.373047°		 ← 1 775.97 m → S 43.373112°
W 47.351074°		 →
↑
1 775.79 m
↓
↑
1 775.79 m
↓
S 43.389082°
W 47.373047°		 ← 1 775.50 m →
3 153 325 m²		 S 43.389082°
W 47.351074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6036 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.368438720703125 y=0.634002685546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.368438720703125 × 214)
    floor (0.368438720703125 × 16384)
    floor (6036.5)     		tx = 6036
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634002685546875 × 214)
    floor (0.634002685546875 × 16384)
    floor (10387.5)     		ty = 10387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6036 / 10387 ti = "14/6036/10387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6036/10387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6036 ÷ 214
    6036 ÷ 16384     		x = 0.368408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10387 ÷ 214
    10387 ÷ 16384     		y = 0.63397216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.368408203125 × 2 - 1) × π
    -0.26318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.82681564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63397216796875 × 2 - 1) × π
    -0.2679443359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.841771957328186
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82681564} λ = -0.82681564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.841771957328186))-π/2
    2×atan(0.430946228152722)-π/2
    2×0.406896356183929-π/2
    0.813792712367858-1.57079632675     		φ = -0.75700361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82681564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.373047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75700361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.373112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6036 KachelY 10387 -0.82681564 -0.75700361 -47.373047 -43.373112
    Oben rechts KachelX + 1 6037 KachelY 10387 -0.82643215 -0.75700361 -47.351074 -43.373112
    Unten links KachelX 6036 KachelY + 1 10388 -0.82681564 -0.75728234 -47.373047 -43.389082
    Unten rechts KachelX + 1 6037 KachelY + 1 10388 -0.82643215 -0.75728234 -47.351074 -43.389082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75700361--0.75728234) × R
    0.000278730000000005 × 6371000     		dl = 1775.78883000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75700361--0.75728234) × R
    0.000278730000000005 × 6371000     		dr = 1775.78883000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82681564--0.82643215) × cos(-0.75700361) × R
    0.000383489999999931 × 0.72689703106649 × 6371000     		do = 1775.96557710842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82681564--0.82643215) × cos(-0.75728234) × R
    0.000383489999999931 × 0.72670558599051 × 6371000     		du = 1775.49783566731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75700361)-sin(-0.75728234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72689703106649-0.72670558599051)×R²
    abs(-0.82643215--0.82681564)×0.000191445075980456×R²
    0.000383489999999931×0.000191445075980456×6371000²
    0.000383489999999931×0.000191445075980456×40589641000000     		ar = 3153324.54969563m²