Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60359 / 40138
↖ ↑ ↗
← N 57.025784°
W 14.219055°		 ← 166.23 m → N 57.025784°
W 14.216308°		 →
↑
166.22 m
↓
↑
166.22 m
↓
N 57.024289°
W 14.219055°		 ← 166.24 m →
27 631 m²		 N 57.024289°
W 14.216308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460506439208984 y=0.306232452392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460506439208984 × 217)
    floor (0.460506439208984 × 131072)
    floor (60359.5)     		tx = 60359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306232452392578 × 217)
    floor (0.306232452392578 × 131072)
    floor (40138.5)     		ty = 40138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60359 / 40138 ti = "17/60359/40138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60359/40138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60359 ÷ 217
    60359 ÷ 131072     		x = 0.460502624511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40138 ÷ 217
    40138 ÷ 131072     		y = 0.306228637695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460502624511719 × 2 - 1) × π
    -0.0789947509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24816933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306228637695312 × 2 - 1) × π
    0.387542724609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.21750137655019
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24816933} λ = -0.24816933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21750137655019))-π/2
    2×atan(3.37873499142874)-π/2
    2×1.28304201026724-π/2
    2.56608402053447-1.57079632675     		φ = 0.99528769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24816933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.219055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99528769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.025784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60359 KachelY 40138 -0.24816933 0.99528769 -14.219055 57.025784
    Oben rechts KachelX + 1 60360 KachelY 40138 -0.24812139 0.99528769 -14.216308 57.025784
    Unten links KachelX 60359 KachelY + 1 40139 -0.24816933 0.99526160 -14.219055 57.024289
    Unten rechts KachelX + 1 60360 KachelY + 1 40139 -0.24812139 0.99526160 -14.216308 57.024289
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99528769-0.99526160) × R
    2.60899999999786e-05 × 6371000     		dl = 166.219389999864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99528769-0.99526160) × R
    2.60899999999786e-05 × 6371000     		dr = 166.219389999864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24816933--0.24812139) × cos(0.99528769) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.544261564400117 × 6371000     		do = 166.231491060451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24816933--0.24812139) × cos(0.99526160) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.544283451522348 × 6371000     		du = 166.238175950954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99528769)-sin(0.99526160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544261564400117-0.544283451522348)×R²
    abs(-0.24812139--0.24816933)×2.18871222302797e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18871222302797e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18871222302797e-05×40589641000000     		ar = 27631.4526236416m²