Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60359 / 40136
↖ ↑ ↗
← N 57.028774°
W 14.219055°		 ← 166.22 m → N 57.028774°
W 14.216308°		 →
↑
166.22 m
↓
↑
166.22 m
↓
N 57.027279°
W 14.219055°		 ← 166.22 m →
27 629 m²		 N 57.027279°
W 14.216308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460506439208984 y=0.306217193603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460506439208984 × 217)
    floor (0.460506439208984 × 131072)
    floor (60359.5)     		tx = 60359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306217193603516 × 217)
    floor (0.306217193603516 × 131072)
    floor (40136.5)     		ty = 40136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60359 / 40136 ti = "17/60359/40136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60359/40136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60359 ÷ 217
    60359 ÷ 131072     		x = 0.460502624511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40136 ÷ 217
    40136 ÷ 131072     		y = 0.30621337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460502624511719 × 2 - 1) × π
    -0.0789947509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24816933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30621337890625 × 2 - 1) × π
    0.3875732421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.21759725034943
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24816933} λ = -0.24816933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21759725034943))-π/2
    2×atan(3.37905893911779)-π/2
    2×1.28306809942986-π/2
    2.56613619885972-1.57079632675     		φ = 0.99533987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24816933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.219055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99533987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.028774°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60359 KachelY 40136 -0.24816933 0.99533987 -14.219055 57.028774
    Oben rechts KachelX + 1 60360 KachelY 40136 -0.24812139 0.99533987 -14.216308 57.028774
    Unten links KachelX 60359 KachelY + 1 40137 -0.24816933 0.99531378 -14.219055 57.027279
    Unten rechts KachelX + 1 60360 KachelY + 1 40137 -0.24812139 0.99531378 -14.216308 57.027279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99533987-0.99531378) × R
    2.60899999999786e-05 × 6371000     		dl = 166.219389999864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99533987-0.99531378) × R
    2.60899999999786e-05 × 6371000     		dr = 166.219389999864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24816933--0.24812139) × cos(0.99533987) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.544217789044254 × 6371000     		do = 166.218120939993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24816933--0.24812139) × cos(0.99531378) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.544239676907415 × 6371000     		du = 166.224806056795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99533987)-sin(0.99531378))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544217789044254-0.544239676907415)×R²
    abs(-0.24812139--0.24816933)×2.18878631601527e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18878631601527e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18878631601527e-05×40589641000000     		ar = 27629.2302690774m²