Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60358 / 42050
↖ ↑ ↗
← N 54.056164°
W 14.221802°		 ← 179.28 m → N 54.056164°
W 14.219055°		 →
↑
179.28 m
↓
↑
179.28 m
↓
N 54.054552°
W 14.221802°		 ← 179.29 m →
32 142 m²		 N 54.054552°
W 14.219055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460498809814453 y=0.320819854736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460498809814453 × 217)
    floor (0.460498809814453 × 131072)
    floor (60358.5)     		tx = 60358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320819854736328 × 217)
    floor (0.320819854736328 × 131072)
    floor (42050.5)     		ty = 42050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60358 / 42050 ti = "17/60358/42050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60358/42050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60358 ÷ 217
    60358 ÷ 131072     		x = 0.460494995117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42050 ÷ 217
    42050 ÷ 131072     		y = 0.320816040039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460494995117188 × 2 - 1) × π
    -0.079010009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24821727
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320816040039062 × 2 - 1) × π
    0.358367919921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.12584602447664
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24821727} λ = -0.24821727}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12584602447664))-π/2
    2×atan(3.08282389042053)-π/2
    2×1.25712718102349-π/2
    2.51425436204698-1.57079632675     		φ = 0.94345804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24821727} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.221802°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94345804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.056164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60358 KachelY 42050 -0.24821727 0.94345804 -14.221802 54.056164
    Oben rechts KachelX + 1 60359 KachelY 42050 -0.24816933 0.94345804 -14.219055 54.056164
    Unten links KachelX 60358 KachelY + 1 42051 -0.24821727 0.94342990 -14.221802 54.054552
    Unten rechts KachelX + 1 60359 KachelY + 1 42051 -0.24816933 0.94342990 -14.219055 54.054552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94345804-0.94342990) × R
    2.81399999999543e-05 × 6371000     		dl = 179.279939999709m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94345804-0.94342990) × R
    2.81399999999543e-05 × 6371000     		dr = 179.279939999709m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24821727--0.24816933) × cos(0.94345804) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.586991936032105 × 6371000     		do = 179.282446436624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24821727--0.24816933) × cos(0.94342990) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.587014717740482 × 6371000     		du = 179.289404556764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94345804)-sin(0.94342990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.586991936032105-0.587014717740482)×R²
    abs(-0.24816933--0.24821727)×2.27817083769954e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.27817083769954e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.27817083769954e-05×40589641000000     		ar = 32142.3699678611m²