Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60357 / 83038
↖ ↑ ↗
← S 43.257205°
W 14.224548°		 ← 222.39 m → S 43.257205°
W 14.221802°		 →
↑
222.48 m
↓
↑
222.48 m
↓
S 43.259206°
W 14.224548°		 ← 222.38 m →
49 476 m²		 S 43.259206°
W 14.221802°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460491180419922 y=0.633533477783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460491180419922 × 217)
    floor (0.460491180419922 × 131072)
    floor (60357.5)     		tx = 60357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633533477783203 × 217)
    floor (0.633533477783203 × 131072)
    floor (83038.5)     		ty = 83038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60357 / 83038 ti = "17/60357/83038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60357/83038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60357 ÷ 217
    60357 ÷ 131072     		x = 0.460487365722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83038 ÷ 217
    83038 ÷ 131072     		y = 0.633529663085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460487365722656 × 2 - 1) × π
    -0.0790252685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24826520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633529663085938 × 2 - 1) × π
    -0.267059326171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.838991617150223
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24826520} λ = -0.24826520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.838991617150223))-π/2
    2×atan(0.432146072480164)-π/2
    2×0.407907831343534-π/2
    0.815815662687069-1.57079632675     		φ = -0.75498066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24826520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.224548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75498066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.257205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60357 KachelY 83038 -0.24826520 -0.75498066 -14.224548 -43.257205
    Oben rechts KachelX + 1 60358 KachelY 83038 -0.24821727 -0.75498066 -14.221802 -43.257205
    Unten links KachelX 60357 KachelY + 1 83039 -0.24826520 -0.75501558 -14.224548 -43.259206
    Unten rechts KachelX + 1 60358 KachelY + 1 83039 -0.24821727 -0.75501558 -14.221802 -43.259206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75498066--0.75501558) × R
    3.49200000000494e-05 × 6371000     		dl = 222.475320000314m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75498066--0.75501558) × R
    3.49200000000494e-05 × 6371000     		dr = 222.475320000314m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24826520--0.24821727) × cos(-0.75498066) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.728284796529339 × 6371000     		do = 222.390523886343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24826520--0.24821727) × cos(-0.75501558) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.728260866296841 × 6371000     		du = 222.383216501969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75498066)-sin(-0.75501558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728284796529339-0.728260866296841)×R²
    abs(-0.24821727--0.24826520)×2.39302324975821e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39302324975821e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39302324975821e-05×40589641000000     		ar = 49475.5901152165m²