Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60357 / 34500
↖ ↑ ↗
← N 64.543719°
W 14.224548°		 ← 131.25 m → N 64.543719°
W 14.221802°		 →
↑
131.31 m
↓
↑
131.31 m
↓
N 64.542538°
W 14.224548°		 ← 131.26 m →
17 235 m²		 N 64.542538°
W 14.221802°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460491180419922 y=0.263217926025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460491180419922 × 217)
    floor (0.460491180419922 × 131072)
    floor (60357.5)     		tx = 60357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263217926025391 × 217)
    floor (0.263217926025391 × 131072)
    floor (34500.5)     		ty = 34500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60357 / 34500 ti = "17/60357/34500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60357/34500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60357 ÷ 217
    60357 ÷ 131072     		x = 0.460487365722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34500 ÷ 217
    34500 ÷ 131072     		y = 0.263214111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460487365722656 × 2 - 1) × π
    -0.0790252685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24826520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263214111328125 × 2 - 1) × π
    0.47357177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.48776961660806
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24826520} λ = -0.24826520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48776961660806))-π/2
    2×atan(4.42721012305911)-π/2
    2×1.34864836203279-π/2
    2.69729672406558-1.57079632675     		φ = 1.12650040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24826520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.224548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12650040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.543719°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60357 KachelY 34500 -0.24826520 1.12650040 -14.224548 64.543719
    Oben rechts KachelX + 1 60358 KachelY 34500 -0.24821727 1.12650040 -14.221802 64.543719
    Unten links KachelX 60357 KachelY + 1 34501 -0.24826520 1.12647979 -14.224548 64.542538
    Unten rechts KachelX + 1 60358 KachelY + 1 34501 -0.24821727 1.12647979 -14.221802 64.542538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12650040-1.12647979) × R
    2.06099999999765e-05 × 6371000     		dl = 131.30630999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12650040-1.12647979) × R
    2.06099999999765e-05 × 6371000     		dr = 131.30630999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24826520--0.24821727) × cos(1.12650040) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.429822269676181 × 6371000     		do = 131.25140080753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24826520--0.24821727) × cos(1.12647979) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.429840878632446 × 6371000     		du = 131.257083276192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12650040)-sin(1.12647979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429822269676181-0.429840878632446)×R²
    abs(-0.24821727--0.24826520)×1.86089562650982e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.86089562650982e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.86089562650982e-05×40589641000000     		ar = 17234.5101950735m²