Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60356 / 82628
↖ ↑ ↗
← S 42.431566°
W 14.227295°		 ← 225.43 m → S 42.431566°
W 14.224548°		 →
↑
225.41 m
↓
↑
225.41 m
↓
S 42.433593°
W 14.227295°		 ← 225.42 m →
50 812 m²		 S 42.433593°
W 14.224548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460483551025391 y=0.630405426025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460483551025391 × 217)
    floor (0.460483551025391 × 131072)
    floor (60356.5)     		tx = 60356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630405426025391 × 217)
    floor (0.630405426025391 × 131072)
    floor (82628.5)     		ty = 82628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60356 / 82628 ti = "17/60356/82628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60356/82628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60356 ÷ 217
    60356 ÷ 131072     		x = 0.460479736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82628 ÷ 217
    82628 ÷ 131072     		y = 0.630401611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460479736328125 × 2 - 1) × π
    -0.07904052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24831314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630401611328125 × 2 - 1) × π
    -0.26080322265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.819337488306
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24831314} λ = -0.24831314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.819337488306))-π/2
    2×atan(0.440723542306382)-π/2
    2×0.415112897779407-π/2
    0.830225795558814-1.57079632675     		φ = -0.74057053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24831314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.227295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74057053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.431566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60356 KachelY 82628 -0.24831314 -0.74057053 -14.227295 -42.431566
    Oben rechts KachelX + 1 60357 KachelY 82628 -0.24826520 -0.74057053 -14.224548 -42.431566
    Unten links KachelX 60356 KachelY + 1 82629 -0.24831314 -0.74060591 -14.227295 -42.433593
    Unten rechts KachelX + 1 60357 KachelY + 1 82629 -0.24826520 -0.74060591 -14.224548 -42.433593
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74057053--0.74060591) × R
    3.53800000000293e-05 × 6371000     		dl = 225.405980000187m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74057053--0.74060591) × R
    3.53800000000293e-05 × 6371000     		dr = 225.405980000187m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24831314--0.24826520) × cos(-0.74057053) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.738083737080828 × 6371000     		do = 225.42977157986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24831314--0.24826520) × cos(-0.74060591) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.73805986541021 × 6371000     		du = 225.422480557196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74057053)-sin(-0.74060591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738083737080828-0.73805986541021)×R²
    abs(-0.24826520--0.24831314)×2.38716706183473e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.38716706183473e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.38716706183473e-05×40589641000000     		ar = 50812.3968694753m²