Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60356 / 40132
↖ ↑ ↗
← N 57.034753°
W 14.227295°		 ← 166.19 m → N 57.034753°
W 14.224548°		 →
↑
166.22 m
↓
↑
166.22 m
↓
N 57.033258°
W 14.227295°		 ← 166.20 m →
27 625 m²		 N 57.033258°
W 14.224548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460483551025391 y=0.306186676025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460483551025391 × 217)
    floor (0.460483551025391 × 131072)
    floor (60356.5)     		tx = 60356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306186676025391 × 217)
    floor (0.306186676025391 × 131072)
    floor (40132.5)     		ty = 40132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60356 / 40132 ti = "17/60356/40132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60356/40132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60356 ÷ 217
    60356 ÷ 131072     		x = 0.460479736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40132 ÷ 217
    40132 ÷ 131072     		y = 0.306182861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460479736328125 × 2 - 1) × π
    -0.07904052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24831314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306182861328125 × 2 - 1) × π
    0.38763427734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.21778899794791
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24831314} λ = -0.24831314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21778899794791))-π/2
    2×atan(3.37970692767763)-π/2
    2×1.2831202714602-π/2
    2.5662405429204-1.57079632675     		φ = 0.99544422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24831314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.227295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99544422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.034753°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60356 KachelY 40132 -0.24831314 0.99544422 -14.227295 57.034753
    Oben rechts KachelX + 1 60357 KachelY 40132 -0.24826520 0.99544422 -14.224548 57.034753
    Unten links KachelX 60356 KachelY + 1 40133 -0.24831314 0.99541813 -14.227295 57.033258
    Unten rechts KachelX + 1 60357 KachelY + 1 40133 -0.24826520 0.99541813 -14.224548 57.033258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99544422-0.99541813) × R
    2.60899999999786e-05 × 6371000     		dl = 166.219389999864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99544422-0.99541813) × R
    2.60899999999786e-05 × 6371000     		dr = 166.219389999864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24831314--0.24826520) × cos(0.99544422) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.544130242277345 × 6371000     		do = 166.191381903925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24831314--0.24826520) × cos(0.99541813) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.544152131622044 × 6371000     		du = 166.198067473227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99544422)-sin(0.99541813))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544130242277345-0.544152131622044)×R²
    abs(-0.24826520--0.24831314)×2.18893446990442e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18893446990442e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18893446990442e-05×40589641000000     		ar = 27624.7857604291m²