Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60355 / 34496
↖ ↑ ↗
← N 64.548440°
W 14.230042°		 ← 131.26 m → N 64.548440°
W 14.227295°		 →
↑
131.24 m
↓
↑
131.24 m
↓
N 64.547260°
W 14.230042°		 ← 131.26 m →
17 227 m²		 N 64.547260°
W 14.227295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460475921630859 y=0.263187408447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460475921630859 × 217)
    floor (0.460475921630859 × 131072)
    floor (60355.5)     		tx = 60355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263187408447266 × 217)
    floor (0.263187408447266 × 131072)
    floor (34496.5)     		ty = 34496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60355 / 34496 ti = "17/60355/34496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60355/34496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60355 ÷ 217
    60355 ÷ 131072     		x = 0.460472106933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34496 ÷ 217
    34496 ÷ 131072     		y = 0.26318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460472106933594 × 2 - 1) × π
    -0.0790557861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24836108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26318359375 × 2 - 1) × π
    0.4736328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.48796136420654
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24836108} λ = -0.24836108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48796136420654))-π/2
    2×atan(4.4280591113613)-π/2
    2×1.34868956715992-π/2
    2.69737913431983-1.57079632675     		φ = 1.12658281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24836108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.230042°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12658281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.548440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60355 KachelY 34496 -0.24836108 1.12658281 -14.230042 64.548440
    Oben rechts KachelX + 1 60356 KachelY 34496 -0.24831314 1.12658281 -14.227295 64.548440
    Unten links KachelX 60355 KachelY + 1 34497 -0.24836108 1.12656221 -14.230042 64.547260
    Unten rechts KachelX + 1 60356 KachelY + 1 34497 -0.24831314 1.12656221 -14.227295 64.547260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12658281-1.12656221) × R
    2.06000000000373e-05 × 6371000     		dl = 131.242600000237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12658281-1.12656221) × R
    2.06000000000373e-05 × 6371000     		dr = 131.242600000237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24836108--0.24831314) × cos(1.12658281) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.429747859113903 × 6371000     		do = 131.256057883345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24836108--0.24831314) × cos(1.12656221) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.42976645977076 × 6371000     		du = 131.26173900273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12658281)-sin(1.12656221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429747859113903-0.42976645977076)×R²
    abs(-0.24831314--0.24836108)×1.8600656857215e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.8600656857215e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.8600656857215e-05×40589641000000     		ar = 17226.7591052927m²