Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60355 / 34495
↖ ↑ ↗
← N 64.549621°
W 14.230042°		 ← 131.25 m → N 64.549621°
W 14.227295°		 →
↑
131.24 m
↓
↑
131.24 m
↓
N 64.548440°
W 14.230042°		 ← 131.26 m →
17 226 m²		 N 64.548440°
W 14.227295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460475921630859 y=0.263179779052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460475921630859 × 217)
    floor (0.460475921630859 × 131072)
    floor (60355.5)     		tx = 60355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263179779052734 × 217)
    floor (0.263179779052734 × 131072)
    floor (34495.5)     		ty = 34495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60355 / 34495 ti = "17/60355/34495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60355/34495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60355 ÷ 217
    60355 ÷ 131072     		x = 0.460472106933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34495 ÷ 217
    34495 ÷ 131072     		y = 0.263175964355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460472106933594 × 2 - 1) × π
    -0.0790557861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24836108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263175964355469 × 2 - 1) × π
    0.473648071289062 × 3.1415926535     		Φ = 1.48800930110616
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24836108} λ = -0.24836108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48800930110616))-π/2
    2×atan(4.42827138387424)-π/2
    2×1.34869986732704-π/2
    2.69739973465408-1.57079632675     		φ = 1.12660341
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24836108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.230042°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12660341 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.549621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60355 KachelY 34495 -0.24836108 1.12660341 -14.230042 64.549621
    Oben rechts KachelX + 1 60356 KachelY 34495 -0.24831314 1.12660341 -14.227295 64.549621
    Unten links KachelX 60355 KachelY + 1 34496 -0.24836108 1.12658281 -14.230042 64.548440
    Unten rechts KachelX + 1 60356 KachelY + 1 34496 -0.24831314 1.12658281 -14.227295 64.548440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12660341-1.12658281) × R
    2.06000000000373e-05 × 6371000     		dl = 131.242600000237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12660341-1.12658281) × R
    2.06000000000373e-05 × 6371000     		dr = 131.242600000237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24836108--0.24831314) × cos(1.12660341) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.429729258274678 × 6371000     		do = 131.25037670826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24836108--0.24831314) × cos(1.12658281) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.429747859113903 × 6371000     		du = 131.256057883345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12660341)-sin(1.12658281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429729258274678-0.429747859113903)×R²
    abs(-0.24831314--0.24836108)×1.86008392250026e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.86008392250026e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.86008392250026e-05×40589641000000     		ar = 17226.0134970317m²