Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60355 / 27317
↖ ↑ ↗
← N 71.810844°
W 14.230042°		 ← 95.34 m → N 71.810844°
W 14.227295°		 →
↑
95.31 m
↓
↑
95.31 m
↓
N 71.809986°
W 14.230042°		 ← 95.34 m →
9 087 m²		 N 71.809986°
W 14.227295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27317 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460475921630859 y=0.208415985107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460475921630859 × 217)
    floor (0.460475921630859 × 131072)
    floor (60355.5)     		tx = 60355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208415985107422 × 217)
    floor (0.208415985107422 × 131072)
    floor (27317.5)     		ty = 27317
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60355 / 27317 ti = "17/60355/27317"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60355/27317.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60355 ÷ 217
    60355 ÷ 131072     		x = 0.460472106933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27317 ÷ 217
    27317 ÷ 131072     		y = 0.208412170410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460472106933594 × 2 - 1) × π
    -0.0790557861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24836108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208412170410156 × 2 - 1) × π
    0.583175659179688 × 3.1415926535     		Φ = 1.83210036657893
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24836108} λ = -0.24836108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83210036657893))-π/2
    2×atan(6.24699386587064)-π/2
    2×1.4120659932927-π/2
    2.8241319865854-1.57079632675     		φ = 1.25333566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24836108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.230042°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25333566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.810844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60355 KachelY 27317 -0.24836108 1.25333566 -14.230042 71.810844
    Oben rechts KachelX + 1 60356 KachelY 27317 -0.24831314 1.25333566 -14.227295 71.810844
    Unten links KachelX 60355 KachelY + 1 27318 -0.24836108 1.25332070 -14.230042 71.809986
    Unten rechts KachelX + 1 60356 KachelY + 1 27318 -0.24831314 1.25332070 -14.227295 71.809986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25333566-1.25332070) × R
    1.49600000001193e-05 × 6371000     		dl = 95.3101600007602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25333566-1.25332070) × R
    1.49600000001193e-05 × 6371000     		dr = 95.3101600007602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24836108--0.24831314) × cos(1.25333566) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.312155123994441 × 6371000     		do = 95.3402097408419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24836108--0.24831314) × cos(1.25332070) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.312169336425456 × 6371000     		du = 95.3445505831018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25333566)-sin(1.25332070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312155123994441-0.312169336425456)×R²
    abs(-0.24831314--0.24836108)×1.42124310148484e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.42124310148484e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.42124310148484e-05×40589641000000     		ar = 9087.09750817221m²