Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60354 / 42058
↖ ↑ ↗
← N 54.043264°
W 14.232788°		 ← 179.30 m → N 54.043264°
W 14.230042°		 →
↑
179.34 m
↓
↑
179.34 m
↓
N 54.041651°
W 14.232788°		 ← 179.31 m →
32 157 m²		 N 54.041651°
W 14.230042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460468292236328 y=0.320880889892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460468292236328 × 217)
    floor (0.460468292236328 × 131072)
    floor (60354.5)     		tx = 60354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320880889892578 × 217)
    floor (0.320880889892578 × 131072)
    floor (42058.5)     		ty = 42058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60354 / 42058 ti = "17/60354/42058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60354/42058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60354 ÷ 217
    60354 ÷ 131072     		x = 0.460464477539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42058 ÷ 217
    42058 ÷ 131072     		y = 0.320877075195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460464477539062 × 2 - 1) × π
    -0.079071044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24840901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320877075195312 × 2 - 1) × π
    0.358245849609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.12546252927968
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24840901} λ = -0.24840901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12546252927968))-π/2
    2×atan(3.08164186892975)-π/2
    2×1.25701460925519-π/2
    2.51402921851038-1.57079632675     		φ = 0.94323289
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24840901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.232788°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94323289 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.043264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60354 KachelY 42058 -0.24840901 0.94323289 -14.232788 54.043264
    Oben rechts KachelX + 1 60355 KachelY 42058 -0.24836108 0.94323289 -14.230042 54.043264
    Unten links KachelX 60354 KachelY + 1 42059 -0.24840901 0.94320474 -14.232788 54.041651
    Unten rechts KachelX + 1 60355 KachelY + 1 42059 -0.24836108 0.94320474 -14.230042 54.041651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94323289-0.94320474) × R
    2.81500000000046e-05 × 6371000     		dl = 179.343650000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94323289-0.94320474) × R
    2.81500000000046e-05 × 6371000     		dr = 179.343650000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24840901--0.24836108) × cos(0.94323289) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.587174200966598 × 6371000     		do = 179.300705970794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24840901--0.24836108) × cos(0.94320474) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.587196987049749 × 6371000     		du = 179.307663975401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94323289)-sin(0.94320474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.587174200966598-0.587196987049749)×R²
    abs(-0.24836108--0.24840901)×2.2786083150983e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.2786083150983e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.2786083150983e-05×40589641000000     		ar = 32157.0669953865m²