Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60354 / 34497
↖ ↑ ↗
← N 64.547260°
W 14.232788°		 ← 131.23 m → N 64.547260°
W 14.230042°		 →
↑
131.31 m
↓
↑
131.31 m
↓
N 64.546079°
W 14.232788°		 ← 131.24 m →
17 232 m²		 N 64.546079°
W 14.230042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460468292236328 y=0.263195037841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460468292236328 × 217)
    floor (0.460468292236328 × 131072)
    floor (60354.5)     		tx = 60354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263195037841797 × 217)
    floor (0.263195037841797 × 131072)
    floor (34497.5)     		ty = 34497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60354 / 34497 ti = "17/60354/34497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60354/34497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60354 ÷ 217
    60354 ÷ 131072     		x = 0.460464477539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34497 ÷ 217
    34497 ÷ 131072     		y = 0.263191223144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460464477539062 × 2 - 1) × π
    -0.079071044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24840901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263191223144531 × 2 - 1) × π
    0.473617553710938 × 3.1415926535     		Φ = 1.48791342730692
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24840901} λ = -0.24840901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48791342730692))-π/2
    2×atan(4.42784684902381)-π/2
    2×1.34867926654694-π/2
    2.69735853309389-1.57079632675     		φ = 1.12656221
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24840901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.232788°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12656221 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.547260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60354 KachelY 34497 -0.24840901 1.12656221 -14.232788 64.547260
    Oben rechts KachelX + 1 60355 KachelY 34497 -0.24836108 1.12656221 -14.230042 64.547260
    Unten links KachelX 60354 KachelY + 1 34498 -0.24840901 1.12654160 -14.232788 64.546079
    Unten rechts KachelX + 1 60355 KachelY + 1 34498 -0.24836108 1.12654160 -14.230042 64.546079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12656221-1.12654160) × R
    2.06099999999765e-05 × 6371000     		dl = 131.30630999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12656221-1.12654160) × R
    2.06099999999765e-05 × 6371000     		dr = 131.30630999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24840901--0.24836108) × cos(1.12656221) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.42976645977076 × 6371000     		do = 131.234358581517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24840901--0.24836108) × cos(1.12654160) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.429785069274554 × 6371000     		du = 131.240041217373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12656221)-sin(1.12654160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42976645977076-0.429785069274554)×R²
    abs(-0.24836108--0.24840901)×1.86095037937317e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.86095037937317e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.86095037937317e-05×40589641000000     		ar = 17232.2724541134m²