Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60353 / 82754
↖ ↑ ↗
← S 42.686474°
W 14.235535°		 ← 224.51 m → S 42.686474°
W 14.232788°		 →
↑
224.45 m
↓
↑
224.45 m
↓
S 42.688492°
W 14.235535°		 ← 224.50 m →
50 391 m²		 S 42.688492°
W 14.232788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60353 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460460662841797 y=0.631366729736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460460662841797 × 217)
    floor (0.460460662841797 × 131072)
    floor (60353.5)     		tx = 60353
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631366729736328 × 217)
    floor (0.631366729736328 × 131072)
    floor (82754.5)     		ty = 82754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60353 / 82754 ti = "17/60353/82754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60353/82754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60353 ÷ 217
    60353 ÷ 131072     		x = 0.460456848144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82754 ÷ 217
    82754 ÷ 131072     		y = 0.631362915039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460456848144531 × 2 - 1) × π
    -0.0790863037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24845695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631362915039062 × 2 - 1) × π
    -0.262725830078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.825377537658127
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24845695} λ = -0.24845695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.825377537658127))-π/2
    2×atan(0.438069573480098)-π/2
    2×0.412888409824084-π/2
    0.825776819648167-1.57079632675     		φ = -0.74501951
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24845695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.235535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74501951 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.686474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60353 KachelY 82754 -0.24845695 -0.74501951 -14.235535 -42.686474
    Oben rechts KachelX + 1 60354 KachelY 82754 -0.24840901 -0.74501951 -14.232788 -42.686474
    Unten links KachelX 60353 KachelY + 1 82755 -0.24845695 -0.74505474 -14.235535 -42.688492
    Unten rechts KachelX + 1 60354 KachelY + 1 82755 -0.24840901 -0.74505474 -14.232788 -42.688492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74501951--0.74505474) × R
    3.52300000000527e-05 × 6371000     		dl = 224.450330000336m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74501951--0.74505474) × R
    3.52300000000527e-05 × 6371000     		dr = 224.450330000336m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24845695--0.24840901) × cos(-0.74501951) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.735074675011418 × 6371000     		do = 224.510726570605m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24845695--0.24840901) × cos(-0.74505474) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.735050789103122 × 6371000     		du = 224.503431199388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74501951)-sin(-0.74505474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735074675011418-0.735050789103122)×R²
    abs(-0.24840901--0.24845695)×2.38859082962728e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.38859082962728e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.38859082962728e-05×40589641000000     		ar = 50390.6879481847m²